Los 80 años de intentos fallidos terminaron por explicar por qué nadie encontraba una demostración, ya que la conjetura de la distancia unidad de Erdős era falsa. El 20 de mayo de 2026, un grupo de investigadores anunció que un sistema de inteligencia artificial había construido un contraejemplo capaz de cerrar uno de los problemas abiertos más antiguos de la combinatoria.

IFLScience presentó el hallazgo como una ruptura doble, porque resolvía una cuestión planteada durante ocho décadas y colocaba a una máquina en el centro del resultado.

Noga Alon, combinatorista de la Universidad de Princeton que revisó la prueba en un artículo complementario para OpenAI, calificó el trabajo como “el resultado individual más espectacular”. El matemático añadió que casi cada pocos días aparece una nueva demostración producida con ayuda de estos sistemas, una frecuencia que está alterando la investigación.

OpenAI recurrió a ramas poco habituales para construir la prueba

La conjetura preguntaba cuántos pares de puntos podían encontrarse a una misma separación dentro de un plano, y el matemático húngaro Paul Erdős había propuesto que, para n puntos distintos, el máximo sería n elevado a 1 más O de uno partido por logaritmo del logaritmo de n.

La dificultad no estaba en formular el problema, cuya expresión cabía en pocas palabras, aunque esa apariencia llevó a varias generaciones a confiar en que acabarían confirmándolo. Erdős llegó a ofrecer recompensas económicas por cuestiones que deseaba ver resueltas, y los matemáticos atacaron esta durante décadas desde enfoques distintos.

OpenAI recibió la tarea de resolverla y produjo una construcción contraria, que Thomas Bloom, combinatorista aritmético de la Universidad de Manchester, describió como una generalización natural y muy exigente de la estructura reticular ideada por Erdős.

La vía empleada exigía conocimientos de geometría discreta y teoría algebraica de números, dos áreas que pocos investigadores dominan a la vez y que rara vez se relacionan al abordar este problema. Alon explicó que las herramientas utilizadas eran avanzadas y que esa conexión no habría sido la primera opción para una persona.

El sistema pudo explorarla durante más tiempo, sin abandonar una línea por cansancio o por la impresión de que había dejado de merecer la pena, mientras recuperaba en segundos artículos y resultados dispersos.

Thomas Chen, físico matemático de la Universidad de Texas en Austin, reconoció que esa capacidad para localizar información reduce a segundos búsquedas que antes exigían días de biblioteca. Aun así, advirtió de que estos modelos pueden omitir referencias o atribuir trabajos a autores equivocados, además de fabricar citas y razonamientos enteros.

También tropiezan con el razonamiento abstracto y la geometría. En algunos problemas de su campo, afirmó, la respuesta obtenida alcanza alrededor de un 60% de corrección, un porcentaje que obliga a revisar por separado cada cálculo y cada referencia antes de aceptar el resultado.

Los modelos actuales plantean dudas sobre la transparencia de las pruebas

Los ordenadores ya participaban en demostraciones desde que el teorema de los cuatro colores se resolvió en 1976, aunque entonces los matemáticos conocían el algoritmo y podían comprobar su convergencia junto con los márgenes de error.

Chen señaló que los modelos generativos introducen una caja negra cuyo funcionamiento no controlan las personas que los usan ni comprenden por completo sus propios creadores. Para una disciplina asentada en pasos verificables, esa opacidad afecta al valor de la prueba, que conserva el razonamiento seguido y puede abrir métodos o conceptos nuevos además de certificar una afirmación.

La Declaración de Leiden, presentada un mes antes y firmada por más de 3.000 científicos y matemáticos, pidió frenar una adopción acrítica que pueda dañar la claridad y la transparencia, además de debilitar la evaluación y la autonomía. Chen defendió que la comunidad tendrá que aceptar estas herramientas dentro de su trabajo y asumir la responsabilidad de explicar cómo operan.

Alon situó el límite actual en tareas distintas, pues las máquinas encuentran demostraciones mejor de lo que seleccionan preguntas valiosas. Tampoco muestran todavía la misma capacidad para crear definiciones útiles y desarrollar criterio matemático.

Los investigadores creen que el control humano seguirá siendo decisivo

El futuro de esta relación dependerá de cuánto control mantengan los investigadores sobre cada paso que una máquina proponga y de si consiguen abrir procesos que hoy permanecen ocultos.

Chen consideró que la explicabilidad y la seguridad todavía forman un campo joven con margen de avance, mientras Alon dejó abierta la posibilidad de que los modelos aprendan también las partes menos medibles de la disciplina.

La prueba publicada por OpenAI deja así una obligación nueva, que es revisar la respuesta y comprender el camino antes de convertirla en conocimiento matemático.

El investigador del I3A Unizar Lucas Tesán ha sido distinguido con uno de los Travel Grant Awards del Congreso Internacional CMBE 2026 (International Conference on Computational & Mathematical Biomedical Engineering), celebrado en Kobe, Japón. Un reconocimiento a su trabajo de investigación en dos de las líneas más punteras en la intersección entre matemáticas, inteligencia artificial e ingeniería biomédica, el aprendizaje profundo topológico (Topological Deep Learning) y las redes neuronales de grafos (Graph Neural Networks) aplicados a sistemas biológicos.

Lucas Tesán desarrolla su investigación dentro del equipo del profesor Elías Cueto, del Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón (I3A) de la Universidad de Zaragoza, donde, entre otros grandes proyectos, se encuentra la Cátedra de Inteligencia Artificial y Sostenibilidad de la Estrategia Nacional de Inteligencia Artificial (ENIA), que recientemente ha obtenido una ayuda Advanced Grant del European Research Council (ERC) para seguir avanzando en sus investigaciones.

Actualmente, es investigador predoctoral en el grupo de Mecánica Aplicada y Bioingeniería (AMB) de la Universidad de Zaragoza. Es ingeniero mecánico y máster en Ingeniería Biomédica por la misma universidad. Su actividad investigadora se centra en el desarrollo de métodos de simulación computacional e inteligencia artificial para el modelado de sistemas físicos complejos. Sus principales líneas de investigación abarcan la simulación en tiempo real, el aprendizaje automático científico, las redes neuronales informadas por la física (Physics-Informed Neural Networks, PINNs), los operadores neuronales y las redes neuronales de grafos, con especial interés en su aplicación al desarrollo de gemelos digitales.

El Congreso Internacional sobre Ingeniería Biomédica Computacional y Matemática (CMBE) en el que ha recibido este premio es una de las citas de referencia mundial en este campo, y congrega cada edición a investigadores, académicos, profesionales y estudiantes de posgrado de múltiples disciplinas para debatir los últimos avances en el uso de métodos computacionales y matemáticos aplicados a la Ingeniería Biomédica. Que el trabajo de Lucas Tesán haya destacado en un foro de este nivel es un reflejo de la calidad y de la proyección internacional de la investigación que hacen los investigadores dentro del I3A y del talento joven que hay en la Universidad de Zaragoza.

Lucas Tesán recogió este premio durante la cena de gala del congreso, a finales del mes de junio, en un acto que reunió a algunos de los investigadores más destacados a nivel internacional en Ingeniería Biomédica Computacional.

“La cabeza y en ataque frontal sobre un escritor inglés que el personaje de este punto es por lo tanto otro método”. Hoy en día, decir que la frase anterior ha sido generada de forma automática, por un algoritmo, no excusa su falta de sentido: los grandes modelos de lenguaje detrás de los chatbots que pueblan el ciberespacio son capaces de generar textos de una coherencia aparente muy superior. Sin embargo, el método mediante el que lo consiguen es, esencialmente, el mismo que el empleado para componer la frase inicial: predecir, en función de las palabras anteriores, qué palabra de su diccionario sigue la secuencia. La diferencia son décadas de sofisticación en la manera de realizar esta predicción.

En efecto, la frase que encabeza este texto fue generada, en 1948, por el ingeniero y matemático estadounidense Claude Shannon (1916-2001), para su artículo titulado Una teoría matemática de la comunicación. Shannon estudiaba el envío de mensajes desde un emisor hasta un receptor y buscaba la manera óptima de codificarlos para su transmisión. Para analizar matemáticamente el problema, imaginó al emisor como una fuente que iba lanzando mensajes según una cierta probabilidad.

Dicha probabilidad no era la misma para todos los mensajes, había observado Shannon. En efecto, se podía esperar que un telegrafista que transmitiera un texto letra a letra enviase muchas más veces la e y la a que la j o la z —en este artículo hay 1162 de las primeras frente a 51 de las segundas—. Según su probabilidad, Shannon decidió asignar a cada mensaje una cierta cantidad de información. Cuanto más improbable, es decir, cuanta más sorpresa causara al receptor, mayor cantidad de información. Por ejemplo, si al otro lado de la línea, una hija pequeña le está indicando a su padre qué le apetece para comer, las respuestas más usuales, como “pizza” o “espaguetis”, por esperables, serían poco informativas, mientras que, si la niña pide “brócoli”, su progenitor se hallará ciertamente sorprendido.

Shannon dio un valor numérico a esta idea. Definió la cantidad de información de un mensaje, medida en bits, a partir del logaritmo de la probabilidad de que el emisor escoja dicho mensaje, de manera que a mensajes más improbables corresponde una mayor cantidad de información: más sorpresa. La cantidad de información promedio de los mensajes de una fuente se llama entropía de Shannon, y cuantifica el ritmo al que ésta genera información. Por ejemplo, una fuente que emite un único mensaje (“pizza, pizza, pizza...”) no transmite ninguna información, ya que el receptor ya sabe lo que recibirá antes de que llegue: su entropía es la mínima posible, cero bits.

Pese a su aparente trivialidad, esta idea resulta crucial a la hora de comprimir la información. Para su transmisión, los mensajes del emisor han de ser codificados, ya sea como puntos y rayas en el código morse de un telégrafo, o ceros y unos en la comunicación digital. En aras de una mayor eficiencia, merece la pena codificar los mensajes más probables de forma más breve. Por ejemplo, en morse, la letra e, la más frecuente tanto en español como en inglés, se codifica con un único punto (·), mientras que la j, mucho menos común, requiere de un punto y tres rayas (·---), lo cual resulta en una velocidad de comunicación bastante más alta que si fuera al revés. Así, la longitud de la codificación de un mensaje crece con la cantidad de información del mismo.

¿Hasta qué punto podríamos, de esta manera, acelerar la transmisión de información? La respuesta de Shannon llegó en forma de teorema: demostró que el límite óptimo de la compresión, en bits por mensaje, corresponde a la entropía de la fuente. Si, por ejemplo, ésta fuera de cinco bits, una codificación perfecta con el mejor de los métodos requeriría cinco bits en promedio por mensaje. Y esto no solo se aplica a los antiguos telegrafistas: la compresión de imágenes en JPEG, canciones en MP3 u otros archivos en ZIP se basa en estos mismos principios.

Por supuesto, un emisor en la vida real no escoge cada mensaje independientemente de los demás, sino que la secuencia importa: la letra e es la más probable en general, pero no justo después de una q; y detrás de “pizza” es mucho más fácil encontrar “margarita” que “ventana”. La frase al principio de este artículo fue generada haciendo que la probabilidad de cada palabra dependiera de la inmediatamente anterior. Esta dependencia entre mensajes reduce la entropía, ya que el interlocutor tiene una mejor idea de qué va a recibir después (le sorprende menos), pero hace más difícil calcularla. En un artículo posterior, Shannon intentó medir experimentalmente la entropía del inglés, borrando letras de un texto y pidiendo a otras personas que las adivinaran en función de las anteriores: sus cálculos arrojaron un valor de en torno a un bit por carácter. Curiosamente, 75 años después, este es el método que se usa para entrenar modelos de lenguaje en inteligencia artificial, haciéndoles “jugar” a continuar la secuencia a partir de millones de textos.

Más allá de estos modelos, también los códigos correctores de errores empleados para hacer frente a interferencias en una señal wifi o los estudios sobre la capacidad de los futuros sistemas de comunicación cuánticos siguen las ideas de Shannon. 25 años después de su muerte, es difícil encontrar un área de las tecnologías de la información que no se viera de un modo u otro impactada por su teoría.

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Adrián Franco Rubio es investigador en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado. 

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria, coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT

Calcular algo sin datos fiables obliga a tomar decisiones rápidas y a confiar en el propio criterio. Esa es la puerta de entrada a los problemas de Fermi, una forma de responder preguntas que parecen fuera de alcance usando lógica básica y suposiciones razonables. El planteamiento no busca exactitud absoluta, sino una aproximación útil que permita entender el tamaño real de un problema.

Ese enfoque tiene una base concreta que conviene dejar clara desde el principio. Un problema de Fermi funciona porque trabaja con órdenes de magnitud y no con cifras precisas, de modo que cada número se entiende como una aproximación dentro de un rango amplio.

Esto inevitablemente va a generar errores, pero al encadenar varias estimaciones, los fallos no se disparan sin control, ya que una suposición algo alta puede compensar otra más baja. Con ese equilibrio, el resultado final tiende a quedarse cerca de la realidad aunque ninguna cifra intermedia sea exacta.

Las estimaciones aproximadas ayudan a responder preguntas sin datos completos

La escena que mejor explica este método ocurrió en 1945, cuando la primera bomba atómica explotó en el desierto de Nuevo México y Enrico Fermi, premio Nobel y padre de este tipo de cálculos, dejó caer pequeños trozos de papel para medir el desplazamiento provocado por la onda expansiva.

A partir de ese movimiento calculó una potencia cercana a 10 kilotones de TNT, una cifra que quedó próxima al valor real de 20 kilotones. Ese episodio resume una forma de pensar que convirtió estimaciones rápidas en respuestas útiles incluso en situaciones extremas.

Esa misma lógica aparece cuando se intenta calcular cuántas pelotas caben en un autobús escolar, ya que obliga a partir de medidas conocidas y avanzar con hipótesis razonables sobre el tamaño del vehículo y el diámetro de cada objeto.

A partir de ahí, la operación se transforma en una cadena de cálculos sencillos que permite llegar a una cifra aproximada que se sitúa en el orden de las 100.000 unidades, siempre que el espacio esté vacío y sin obstáculos internos.

El método se vuelve aún más claro cuando se aplica al ejemplo clásico de los afinadores de piano en una gran ciudad. El razonamiento del propio Fermi empieza con una estimación de la población, sigue con el número de hogares y añade después una proporción de viviendas con piano, junto a la frecuencia de afinación anual.

Al sumar la carga de trabajo que puede asumir cada profesional, el resultado final se acerca a una cifra razonable que, aunque no sea exacta, sirve para entender la escala del fenómeno.

Las empresas evalúan el razonamiento con preguntas abiertas

Ese tipo de ejercicio también se utiliza fuera del ámbito académico, ya que muchas empresas lo emplean en entrevistas para evaluar cómo una persona afronta una situación abierta sin datos completos.

El físico de partículas Stefan Funk, que enseña este tipo de problemas en la Universidad de Stanford, explicó en ese contexto que “se trata de ser capaz de dar un paso atrás y mirar el resultado para ver si tiene sentido”. A continuación añadió que “si el error es de un factor dos o tres no pasa nada, pero si es enorme entonces hay un problema”, lo que refuerza la idea de que la coherencia del proceso importa más que la precisión absoluta.

La utilidad de este enfoque también aparece en la ciencia, donde se usa como una comprobación inicial antes de recurrir a métodos más complejos. Con ese paso previo se detectan posibles errores en los datos o en los planteamientos, ya que los cálculos simples hacen evidentes inconsistencias que podrían pasar desapercibidas en modelos más elaborados. Por eso se convierte en una herramienta que acompaña a la investigación desde sus primeras fases.

Para resolver uno de estos problemas conviene escribir las hipótesis, redondear cifras y dividir la cuestión en partes manejables que se puedan calcular sin dificultad. El proceso gana claridad cuando se exponen los pasos en voz alta o se anotan sobre papel, porque así se mantiene el control de cada decisión y se evita perder el hilo del razonamiento. A partir de ahí, cada resultado parcial se conecta con el siguiente hasta construir una estimación global coherente.

El legado de Enrico Fermi llegó a la enseñanza y otras disciplinas

Este tipo de preguntas recibe el nombre de Enrico Fermi porque reflejan la capacidad que tenía el físico italiano para trabajar con información escasa. Su trayectoria incluye la creación del primer reactor nuclear y el desarrollo de ideas que marcaron la física del siglo XX, aunque su forma de pensar sigue presente hoy en aulas y contextos profesionales donde se busca entrenar la capacidad de análisis.

La extensión de este método a otras disciplinas ha reforzado su valor en la enseñanza, ya que permite a estudiantes de distintas edades enfrentarse a problemas abiertos y aprender a identificar variables relevantes.

Con ese entrenamiento, cada persona mejora su forma de interpretar situaciones complejas y gana herramientas para entender mejor el entorno que le rodea.

En la región de Apulia se alza una estructura que poco tiene que ver con las fortalezas medievales europeas. Castel del Monte, situado en la Meseta de Murge, cerca de la ciudad de Andria, es mucho más que un simple edificio. Desde el año 1996, este monumento ostenta el título de Patrimonio de la Humanidad otorgado por la UNESCO. Su silueta se eleva hasta 540 metros de altura, dominando el paisaje con una presencia que evoca poder y misterio.

La construcción fue encargada hacia 1240 por el emperador Federico II de Suabia, una figura histórica excepcional. Conocido por su vasta educación humanista, el soberano acogió en su corte a eruditos de diversas culturas para fomentar el conocimiento científico. Su pasión por las matemáticas y la astronomía se plasmó directamente en el diseño de esta edificación, convirtiéndola en un símbolo intelectual. Federico II buscó fusionar diversas influencias artísticas en una sola obra, logrando una síntesis cultural sin precedentes entre Oriente y el Occidente.

Lo que más sorprende al visitante es su planta octogonal perfecta, una característica que se repite obsesivamente en cada rincón del castillo. Este diseño geométrico no es fruto del azar, sino de un rigor matemático extremo que buscaba la armonía absoluta en la piedra. El octógono actúa como un puente simbólico entre el círculo divino y el cuadrado terrenal, representando una conexión entre cielo y tierra. Cada lado de la estructura principal mide la misma longitud exacta, creando una simetría hipnotizante que es rara en la arquitectura medieval.

El número ocho es el protagonista indiscutible en la configuración total, extendiéndose desde la base hasta las torres que coronan el edificio. Existen ocho torres de planta octogonal situadas en las ocho esquinas, y cada piso contiene ocho salas dispuestas alrededor de un patio. Incluso las ventanas que iluminan el interior siguen este patrón numérico, reforzando el carácter esotérico que muchos estudiosos han analizado durante siglos. Para muchos, esta recurrencia numérica evoca las ocho puntas de una corona real, subrayando el propósito de representación del poder imperial buscado.

La arquitectura del castillo es una fusión magistral de diversos estilos, integrando elementos del gótico cisterciense, el románico y el arte islámico. Las puertas están decoradas con mármoles de colores y frisos clásicos, mientras que los mosaicos reflejan el refinamiento propio de las cortes. Este eclecticismo arquitectónico demuestra la visión cosmopolita del emperador Federico, quien no temió mezclar tradiciones para crear una obra maestra única. A pesar del saqueo de muchos de sus tesoros interiores originales, la piedra caliza blanca todavía brilla bajo el sol del sur.

Además de su precisión matemática, el castillo funciona como un observatorio, diseñado para crear efectos específicos de luces y sombras durante el año. La posición de las salas y las ventanas se alinea exactamente con eventos astronómicos cruciales, como los solsticios y los equinoccios estacionales. Este diseño sugiere que el edificio pudo haber tenido funciones rituales, donde la luz solar jugaba un papel determinante en su interior sagrado. La luz se convierte en un elemento constructivo más de la obra, revelando el ingenio de los arquitectos que ejecutaron los deseos imperiales.

Belleza sin defensas

A diferencia de otras fortalezas de su época, este curioso castillo carece de elementos defensivos, como fosos, puentes levadizos o establos para los caballos del ejército. Incluso sus escaleras de caracol están construidas en sentido antihorario, algo que dificultaría la defensa para un soldado diestro en caso de invasión. Este detalle ha llevado a muchos expertos a descartar su uso militar, sugiriendo que era un pabellón de caza o un lugar de retiro. Su verdadera función sigue siendo uno de los mayores enigmas de Italia, alimentando leyendas sobre reuniones secretas de eruditos y rituales de estudio.

Hoy en día, Castel del Monte atrae a miles de visitantes anualmente, fascinados por su belleza geométrica y la serenidad de su ubicación. Aunque el interior se encuentra mayormente vacío de muebles, sus muros hablan de una época de esplendor intelectual y síntesis cultural profunda. El monumento sigue siendo objeto de estudio para arquitectos y matemáticos, quienes encuentran en sus proporciones nuevas claves sobre el ingenio medieval. Su silueta octogonal es un recuerdo perdurable de la ambición humana, una corona de piedra que parece vigilar las colinas de Apulia.

El Gobierno de La Rioja ha informado de que esperará a conocer las notas definitivas de los alumnos presentados a la PAU en el examen de Matemáticas II y, a partir de ahí, “se podrá hacer una evaluación de cómo ha terminado el proceso y qué medidas se pueden adoptar para mejorar en el futuro”.

El portavoz del Ejecutivo riojano, Alfonso Domínguez, ha respondido así a preguntas de los periodistas tras conocer la petición de algunas asociaciones de padres de que se considere la nota de Matemáticas de Bachillerato en vez de la de la PAU ante su dificultad. Familias, alumnado y algunos centros denunciaron la dificultad y la falta de claridad en los planteamientos de esta prueba, que suspendieron el 44% de los estudiantes que se presentaron y que dejó una media de 5,2.

Desde el Gobierno riojano lanzan “un mensaje de empatía con la situación de incertidumbre que en estos momentos están viviendo muchas familias”, pero recuerda que el proceso no ha terminado. “Nos encontramos en un momento en el que se están produciendo las reclamaciones presentadas por los alumnos a las notas. Ahora tienen que producirse las correcciones por parte de profesores distintos a los que corrigieron el examen en un primer lugar y hasta el próximo viernes no conoceremos las notas definitivas”, ha señalado el portavoz.

Será en ese momento “cuando podamos hacer una evaluación de cómo ha terminado el proceso y qué medidas se pueden adoptar para mejorar en el futuro”, ha sentenciado. De esta manera, el Gobierno de La Rioja parece cerrar la puerta a medidas para este año, pero sí plantearlas para las próximas convocatorias. No obstante, el Gobierno de La Rioja, como ya hizo después las quejas, vuelve a pedir esperar ahora a las notas deficitivas que se conocerán después de que se resuelvan las reclamaciones.

No se resisten. Aunque los exámenes ya están corregidos y las notas entregadas, alumnado y familias afectadas por el examen de Matemáticas II de la PAU continúan en pie de guerra. “Ahora todas mis ilusiones de estudiar enfermería en La Rioja tendrán que esperar” “Debido a esta nota no podrá acceder al grado por el que se ha esforzado tanto durante este curso.” “Quiere estudiar medicina, no entra ni en enfermería, en la privada tiene plaza, pero nos supone un segundo empleo de su madre”. “Además del disgusto, la pérdida de ilusión es total. Ahora nuestro hijo dice que no quiere estudiar nada”.

Son algunos de los mensajes de familias y estudiantes que han realizado la PAU este año y el polémico examen de Matemáticas II que está recogiendo FAPA Rioja. Su objetivo, dar voz a unas cifras porque detrás de cada dato hay unos chicos y chicas y unas familias“.

Y además de las cartas, también han solicitado las notas de los estudiantes porque consideran que algo no ha funcionado. “Se puede valorar de muchas maneras, pero está claro que no es justo”. Y así, cuentan con el testimonio de un alumno que en bachillerato obtuvo matrícula de honor en matemáticas y en el examen de la PAU ha logrado un 5,04. Otro con sobresaliente en matemáticas en segundo de Bachiller (9) ha suspendido con un 3,40 u otro alumno que cuenta con un 9,5 de nota media de Bachillerato, también ha suspendido el examen de la PAU con un 3,29.

A lo largo del fin de semana continuarán recibiendo cartas y el lunes 22 las entregarán en el Rectorado. Estos son algunos de los mensajes recibidos por FAPA Rioja hasta estos momentos.

Los mensajes de algunos alumnos y familias

“Le ha afectado a nivel personal porque siente que ya no sirve para matemáticas y descarta cursar ese grado que era su primera opción”. 

“Quiere estudiar medicina, no entra ni en enfermería, en la privada tiene plaza, pero nos supone un segundo empleo de su madre”  

“Él lleva sin dormir desde que hizo el examen, hoy me ha pedido ir al psicólogo” 

 “El examen de matemáticas ha sido injusto y juega y determina el futuro de muchos de nuestros estudiantes, incluidos los más brillantes.”

“Días muy duros tras realizar los exámenes de Pau y recibir un varapalo enorme con los resultados obtenidos por mi hija.”

“Es una situación muy estresante ver que el esfuerzo de todo Bachillerato parece no reflejarse en una prueba tan decisiva y ver el impacto real que tienen estas notas en el futuro académico y en el bienestar emocional de los estudiantes y en este caso de mi hija”. 

“Esta injusticia está afectando anímicamente a mi hijo que actualmente tiene un estado de ansiedad, frustración, tristeza e incertidumbre por el impacto directo en sus opciones” 

“Mi hija, como todos los estudiantes de La Rioja, han de tener las mismas posibilidades que los alumnos de otras comunidades para cursar los estudios deseados”. 

“Creo que estas cifras hablan por sí solas. No es fruto de la casualidad, ni de un examen de un día, si no del esfuerzo y la constancia que ha dedicado durante dos largos y duros años, en especial este último, para poder llevar a cabo la ilusión de poder estudiar la carrera con la que pueda labrarse un futuro”.

“Ha sido un despropósito este examen y no es justo que trunquen así nuestros planes de futuro después del esfuerzo invertido”

“Esto ha hecho que tanto a nivel personal como familiar el agobio incremente y el no saber qué hacer el próximo año es algo que nos asusta”

“Después del esfuerzo de todo el año estoy totalmente desmotivada porque además de que el examen fue casi imposible de resolver se une las diferencias que he percibido entre los diferentes correctores, ya no tengo ilusiones”. 

“El resto del examen se lo paso llorando”

“Ahora todas mis ilusiones de estudiar enfermería en La Rioja tendrán que esperar” 

“Mi hija quiere estudiar Medicina en una Universidad Pública Española”

“Debido a esta nota no podrá acceder al grado por el que se ha esforzado tanto durante este curso.”

“Ha estado trabajando durante estos años de una manera ejemplar, dedicándole mucho esfuerzo a sus estudios porque ella es exigente consigo misma y porque le gusta hacer las cosas bien, y sabe que poder llegar a Medicina, va a ser fruto de ese esfuerzo y trabajo”.

“Los alumnos no se merecen la soberbia de una institución que debiera ser ejemplar para la ciudadanía y para los alumnos en especial. No hay ninguna explicación para poner un examen de esas características sabiendo que las consecuencias del mismo van a ser irreversibles para muchos alumnos y familias”.

“Debido a esa nota tan baja la nota de corte de mi hija no llega a la del año pasado para realizar los estudios que ella necesita y eso que todo el bachillerato tenía unas notas excepcionales”

 “Me parece muy injusto todo lo que nos ha pasado en La Rioja. No sabemos cuál ha sido la forma de corregir ni creo que nunca lo sabremos, pero creo que ese no ha sido la forma mejor de arreglar las cosas” 

“Decepción total, indignación y desamparo por los contenidos del examen y por su gran dispersión frente al modelo propuesto.”

“En nuestro caso particular el perjuicio es doble ya que, además de bajar la media de la fase obligatoria, NO computa en la fase específica.”

“Además del disgusto, la pérdida de ilusión es total. Ahora nuestro hijo dice que no quiere estudiar nada.”

“Me pregunto qué ocurre con los profesores. Creo que es injusto que docentes que han trabajado con dedicación y profesionalidad vean cuestionado su esfuerzo por un examen que se ha percibido como excepcionalmente problemático.”

 “No cuestiono que una prueba de acceso deba ser exigente; lo que cuestiono es que una prueba diseñada para evaluar conocimientos y competencias termine produciendo resultados que parecen incompatibles con el rendimiento demostrado durante años, por una parte, significativa del alumnado.”

“La diferencia entre las notas de bachiller y la PAU resulta tan extrema que cuesta entenderla como una simple consecuencia del nivel de dificultad del examen”. 

“Detrás de cada nota hay personas, expectativas, circunstancias económicas y proyectos de vida. No todos podemos permitirnos una universidad privada ni cambiar fácilmente de ciudad o de plan académico”. 

“Sentimos una profunda tristeza por nuestra situación (nuestra hija soñaba con estudiar Medicina en La Rioja) y perjudicados por la gran dificultad del examen.”

“Habría que tener en cuenta que el impacto a los alumnos el día de la prueba, hizo que muchos abandonaran al comienzo y que otros se bloquearan en su desarrollo.”

“Creo que el perjuicio es grande y grave, tanto en lo personal (por tener que irse fuera de casa) y en lo económico (aprox. 90.000 euros al año matrícula carrera + estancia) Si el examen hubiera sido ”normal“ y con una nota media normal, le habría permitido soñar con estudiar Medicina en La Rioja.”

La Universidad de La Rioja ha ofrecido una valoración al debate que está suscitando el examen de Matemáticas II de la PAU, del que el estudiantado denunció la dificultad llegando a concentrarse en el Rectorado. En un comunicado, la universidad pública ha pedido “prudencia y rigor” para esperar a las notas “para poder analizar con solidez si existe una desviación objetiva respecto a otras comunidades que justifique alguna actuación”, ha señalado.

Después de que el presidente de La Rioja, Gonzalo Capellán, mostrara su “empatía” a los afectados y su “preocupación” por la situación, asegurando que “no es competencia del Gobierno de La Rioja”, la Universidad de La Rioja ha recordado que la Comisión Organizadora de la PAU está presidida por el Gobierno de La Rioja, institución a la que pertenecen cinco de los nueve miembros.

En esas declaraciones en una entrevista en TVR, el presidente riojano apuntó que “existen los mecanismos para hacer justicia” se dirigió igualmente a los encargados de corregir los exámenes de la PAU: “Que piensen estos días que esos jóvenes se están jugando su futuro, su vocación y sus sueños”. En una evidente respuesta velada, la Universidad de La Rioja ha subrayado que la elaboración y corrección del examen es una responsabilidad conjunta. “El estudiantado riojano merece que Gobierno de La Rioja y Universidad de La Rioja conozcan y ejerzan sus competencias, que respalden el trabajo riguroso ya realizado y que actúen cuando los datos lo justifiquen”, ha dicho la universidad.

Igualmente, ha destacado que la Universidad de La Rioja es una institución que goza de una autonomía reconocida, tanto por el artículo 27.10 de la Constitución Española para el conjunto de las universidades, como por la Ley Orgánica del Sistema Universitario (LOSU). “No es un organismo dependiente del Gobierno de La Rioja ni recibe instrucciones del Ejecutivo regional en sus funciones académicas. Colabora con él en órganos compartidos como la Comisión Organizadora de la PAU, pero actúa con criterio propio y rinde cuentas ante la sociedad y su comunidad universitaria, no ante el poder ejecutivo autonómico”, aclaran desde la institución académica.

En este sentido, la Universidad de La Rioja asegura “no tener potestad para adoptar decisiones unilaterales sobre la prueba”. “En ese marco, y solo en ese marco, la Universidad respaldará cualquier actuación fundamentada en evidencias objetivas y datos contrastados, coherente con el marco legal vigente y con un único norte: la justicia hacia el estudiantado riojano y la integridad de una prueba que la sociedad tiene derecho a que sea rigurosa, transparente y fiable, ha enfatizado antes de señalar que no se pronunciará hasta tener los resultados. ”Cuando los datos hablen, la Universidad estará donde debe estar: dentro de la Comisión, con rigor, con transparencia y con pleno respeto al auténtico objetivo de la PAU“

Comisión Organizadora de la PAU

La PAU en La Rioja es una responsabilidad compartida entre el Gobierno de La Rioja y la Universidad de La Rioja. Su órgano rector es la Comisión Organizadora, que está adscrita a la Consejería de Educación y Empleo del Gobierno de La Rioja. De sus nueve miembros, cinco pertenecen al Ejecutivo regional, incluida la Presidencia y la Secretaría, y cuatro a la Universidad de La Rioja. La composición incluye al jefe del servicio de Universidades e Investigación como presidente; a la vicerrectora de Estudiantes y Empleabilidad, como coordinadora general Universitaria; a la coordinadora de Desarrollo Profesional Docente del Gobierno de La Rioja, como coordinadora general de Bachillerato; a tres profesoras de la Universidad, a una jefa de Estudios de un Instituto de Educación Secundaria de La Rioja, a una inspectora de Educación y a un funcionario del Gobierno autonómico, como secretario.

Elaboración de los exámenes: una responsabilidad compartida entre el Gobierno y la Universidad

Igualmente, el comunicado del Gobierno de La Rioja explica cómo es el proceso de elaboración de los exámenes, “una responsabilidad compartida entre el Gobierno y la Universidad en cada una de sus etapas”:

 Paso 1 — Criterios generales (octubre-noviembre. Comisión Organizadora)

Al inicio de cada curso, la Comisión Organizadora, presidida por el representante del Gobierno, define los criterios generales para la elaboración de los exámenes de todas las materias. Estos criterios se publican en la web de la Universidad de La Rioja para que los centros puedan orientar su docencia con pleno conocimiento.

Paso 2 — Elaboración de propuestas (coordinadoras/es de materia)

Las personas coordinadoras universitarias y de bachillerato de cada materia trabajan conjuntamente durante todo el curso para establecer la estructura, criterios de corrección y modelo de examen por materias ajustados a los criterios fijados por la Comisión y que se reflejan en las correspondientes actas que custodia la Consejería de Educación, Universidades y Formación Profesional. Sus funciones incluyen:

•            Verificar la correcta adecuación entre la programación curricular y la exigencia de las pruebas.

•            Definir la estructura de cada propuesta de examen conforme a la normativa estatal y a las indicaciones de la Comisión.

•            Establecer los criterios específicos de corrección y calificación.

•            Elaborar las guías de calificación que recibirán los correctores.

Es responsabilidad de los centros de bachillerato impartir el temario a partir del cual se elaborarán las propuestas de examen. Estas, son formuladas por el coordinador de universidad de cada materia, quien elabora tres propuestas de examen.

Paso 3 — Elección del examen definitivo (Comisión Organizadora)

De entre las propuestas elaboradas, la Comisión Organizadora elige mediante un sorteo ciego cuál será el examen de la convocatoria ordinaria y cuál el de la extraordinaria, quedando la tercera propuesta como examen de reserva. Se garantiza que ningún participante en la elaboración pueda conocer de antemano qué propuesta se examinará, reforzando así la integridad del proceso.

Paso 4 — Revisión conjunta (doble coordinación)

El día del examen, se realiza el acto de apertura del examen, en presencia del Tribunal de la PAU. La propuesta de examen es revisada conjuntamente por las personas coordinadoras de la materia, el universitario y el de bachillerato, antes de ser distribuida entre el estudiantado que se va a examinar. Esta doble revisión actúa como filtro técnico para detectar errores de contenido, desajustes curriculares o imprecisiones en los enunciados.

Paso 5 — Corrección por el Tribunal Calificador

La corrección corresponde al Tribunal Calificador, designado por la Comisión Organizadora a propuesta conjunta de la Consejería y de la Universidad de La Rioja. Está integrado, preferentemente, por al menos un 40% de profesores universitarios y un 40% de profesores de bachillerato. El Tribunal actúa con sujeción a las guías de calificación elaboradas por las personas coordinadoras y aprobadas por la Comisión. Los criterios de corrección son públicos.

En cada paso, “la huella institucional del Gobierno y de la Universidad está presente”, ha destacado la UR, apuntando que en la prueba de Matemáticas II de esta convocatoria ordinaria, cuatro personas coordinadoras especializadas (dos de la universidad y dos de bachillerato) revisaron el examen antes de que llegara al aula.

“La respuesta institucional exige, ante todo, prudencia y rigor”

“La respuesta institucional ante la preocupación legítima de estudiantes y familias exige, ante todo, prudencia y rigor. Es necesario esperar a que los resultados reales estén disponibles para poder analizar con solidez si existe una desviación objetiva respecto a otras comunidades que justifique alguna actuación”, ha señalado la UR, creyéndo que solo con esa base “podrán adoptarse, si procede, las medidas de corrección extraordinaria” que el sistema prevé en el Real Decreto 534/2024 y en el Decreto 35/2024 y que corresponde activar únicamente en el seno de la Comisión Organizadora, donde la Universidad asegura que “ejercerá su voz y su voto con plena responsabilidad”.

El examen de Matemáticas II de la PAU en La Rioja sigue generando declaraciones. Hasta la fecha ha hablado el alumnado, la Comisión de la PAU y ahora también el presidente de La Rioja, Gonzalo Capellán. Así, en declaraciones a TVR, el jefe del Ejecutivo riojano confiesa su “empatía absoluta con esos jóvenes y sus familias”. Una joven riojana que este año se ha enfrentado a la PAU ha escrito una carta al presidente riojano, “una alumna brillante con 9,3 de media que quería estudiar medicina en La Rioja”. Curiosamente, Capellán coincidió con su familia en un pueblo de La Rioja. Allí le contaron que su hija quería estudiar Medicina, y en La Rioja, si la facultad llegaba a tiempo. “Eso me desgarra porque no me gustaría que ningún joven riojano con estos méritos y que quiere estudiar aquí, pueda ver su esfuerzo perjudicado por un examen, ya sea por los contenidos o por como se formulan”.

Por todo ello ha mostrado su preocupación a la vez que se siente esperanzado. “No es competencia del Gobierno de La Rioja, pero he sido profesor y corrector y cuando he visto que todo un grupo en una pregunta todos iban a la baja, bien porque no se había explicado bien, o por lo que sea, existen los mecanismos para hacer justicia”. Y así se ha dirigido a los encargados de corregir los exámenes de la PAU: “Que piensen estos días que esos jóvenes se están jugando su futuro, su vocación y sus sueños”.

La historia del polémico examen

El pasado 4 de junio saltaba la polémica sobre el examen de Matemáticas II de la PAU en La Rioja. “Fatal, una vergüenza de examen”, confesaba una estudiante a Rioja2. Las quejas fueron generales. Muchos alumnos salieron de las aulas tras los quince minutos que obligan a permanecer dentro y los que se quedaron, salieron entre lloros y enfados. Las personas afectadas se han organizado y preparado quejas escritas a la rectora para pedir la revisión del examen.

Las quejas se han concentrado especialmente en la parte general de la prueba, la que recoge la mayor puntuación y no ofrece opciones de ejercicios a elegir. En esta parte, tal y como explicaron “los planteamientos y la tipología de los problemas exigidos no se corresponden con el nivel competencial trabajado a lo largo del curso de 2º de Bachillerato, introduciendo enfoques inéditos que no figuraban en las directrices de preparación ni en los modelos de exámenes de años anteriores”.

Al día siguiente llegó al respuesta de la Comisión Organizadora de la PAU ante la multitud de quejas recibidas por el examen de Matemáticas II. La Comisión, formada a partes iguales entre el Gobierno de La Rioja y la Universidad de La Rioja fue clara y tajante: “el ejercicio cumple con las características y requisitos establecidos para su realización, según el marco normativo fijado”. Es más, la Comisión consideró que “tanto los elementos curriculares objeto de evaluación, como el número y el tipo de preguntas o tareas, se adecúan a la duración del ejercicio, cumpliendo con el contenido competencial fijado en la correspondiente estructura y guía de la materia”. Y recordó que “a lo largo de este curso se han llevado a cabo las correspondientes reuniones de coordinación en la forma establecida”, cerrando de esta forma la puerta a la impugnación de algunos ejercicios tal y como pedía el alumnado. Así que habrá que esperar a los resultados.

Decenas de personas se han concentrado este lunes a las puertas del Rectorado para continuar las protestas por lo que consideran un examen de Matemáticas que no “no estaba en las condiciones que habían trabajado durante el curso”. Después de las quejas generalizadas después del examen, la Comisión de la PAU defendió que el examen cumplía los requisitos y cerró la puerta a la revisión reclamada. Sin embargo, los estudiantes no se rinden y siguen pidiendo, “al menos”, una “flexibilización de la corrección”.

Además de las quejas registradas por el alumnado -sobre las que hasta ahora la Consejería de Educación no ha confirmado la cifra-, también algunos centros, como IES Hermanos D’Elhuyar o el IES Escultor Daniel lo han hecho. “Nos pareció que era un examen que no tenía que ver con las anteriores selectividades que habíamos visto, tampoco con el modelo que habían publicado y queremos por lo menos que se revisaran los criterios de corrección”, ha explicado María Pascual, una de las estudiantes afectadas.

Sobre la respuesta ofrecida por la Consejería de Educación, las estudiantes afectadas: “Se han respaldado en que esos temas sí habían dicho que iban a caer, pero el problema no son los temas, porque claro que hemos estudiado eso, pero la manera de preguntar los ejercicios y la dificultad nunca había sido esa”. Otra compañera afectada, Raquel Melchor, añade que “los criterios son tan amplios, que los profesores acuerdan unos temas porque no da tiempo a todo y no se ha cumplido”.

“Si lo que quieren es que tengamos que ir todos a la privada, lo van a conseguir”, ha reprochado Pascual, que ha sido una de las portavoces de la protesta en el Rectorado. No saben todavía cómo seguirán la reivindicación después de que tampoco esta mañana nadie de la Universidad ha salido a escuchar la queja del estudiantado, pero aseguran tener el respaldo de sus profesores: “Estaban bastante indignados, después de haber estado todo el curso impartiendo cuestiones que luego no se vieron reflejadas porque el examen no tenían nada que ver”. 

A pesar de la respuesta de Educación, que han conocido solo a través de los medios de comunicación, no pierden la esperanza de que se pueda flexibilizar la corrección y, si finalmente no puede ser posible, “que no les pase a otros estudiantes los próximos años”, dice Raquel Melchor.

También FAPA, la Federación de Asociación de Padres y Madres, ha valorado el examen de Matemáticas II de la PAU, denunciando, como ya había hecho el estudiantado, la “falta de claridad en los enunciados y la desconexión con el currículo educativo” y pidiendo “una revisión de la prueba y una respuesta dirigida al alumnado y a las familias afectadas”.

Igualmente, han insistido en una queja que vienen transmitiendo con anterioridad y es la “presión” a la que se enfrenta el alumnado de 2.º de Bachillerato, que, según dicen “en muchas ocasiones relega el aprendizaje a un segundo plano”, a lo que se suma ahora “un examen que no se ajusta adecuadamente a lo trabajado durante el curso”, señalan los representantes de las familias, que dicen comprender “la frustración, la preocupación y la indignación” expresadas por quienes realizaron la prueba.

La Comisión Organizadora de la PAU ha respondido a la multitud de quejas recibidas por el examen de Matemáticas II. Los estudiantes habían reclamado la “revisión inmediata” de la prueba, así como “medidas urgentes de flexibilización y moderación en los criterios de corrección y baremación”. La Comisión Organizadora, formada a partes iguales entre el Gobierno de La Rioja y la Universidad de La Rioja, ha tardado poco en responder y ha salido en defensa del examen, que asegura que el ejercicio “cumple con las características y requisitos establecidos para su realización, según el marco normativo fijado”.

La Comisión Organizadora de la PAU ha considerado que “tanto los elementos curriculares objeto de evaluación, como el número y el tipo de preguntas o tareas, se adecúan a la duración del ejercicio, cumpliendo con el contenido competencial fijado en la correspondiente estructura y guía de la materia”. Asimismo, han recordado que “a lo largo de este curso se han llevado a cabo las correspondientes reuniones de coordinación en la forma establecida”.

Tras esta valoracióm, han emplazado a “esperar a los resultados” para los que se tendrán que aplicar, según recuerdas, “los correspondientes criterios de corrección y calificación”.

De esta manera, la Comisión Organizadora de la PAU cierra la puerta a la impugnación de algunos ejercicios que estaba pidiendo el alumnado. En concreto, las quejas se debían a la “excesiva dificultad” de los ejercicios,  “planteamientos y la tipología de los problemas exigidos no se correspondían con el nivel competencial trabajado a lo largo del curso de 2º de Bachillerato” y, según subrayaban, los enunciados es presentaban “una redacción ambigua, confusa y de extrema complejidad formal”.

“He leído el examen entero y he visto que ha entrado todo lo que peor llevaba y que había cosas que no entendía ni los enunciados, y ya ahí me he puesto nerviosa”. Es el testimonios de una estudiante tras el examen de Matemáticas II de la PAU de La Rioja que se ha celebrado este jueves, en la última jornada de la prueba. “Fatal, una vergüenza de examen”, dice una estudiante de otro centro. Las quejas han sido generales. Muchos alumnos han salido de las aulas tras los quince minutos que obligan a permanecer dentro y los que se han quedado han salido entre lloros y enfados. Las personas afectadas ya se están organizando y han preparado quejas escritas a la rectora para pedir la revisión del examen.

Por el momento, el Gobierno de La Rioja no tiene constancia de ninguna queja hasta el momento, si bien señalan puede que no se haya tramitado al ser por la tarde, y se remiten a la Comisión Organizadora de la PAU, integrada a partes iguales por representantes del Gobierno de La Rioja y de la Universidad de La Rioja, para comprobar si el examen está bien planteado y es acorde al temario de Bachillerato.

“Ejercicios no previstos y enunciados confusos”

Las quejas se han concentrado especialmente en la parte general de la prueba, la que recoge la mayor puntuación y no ofrece opciones de ejercicios a elegir. En esta parte, tal y como han explicado en una queja por escrito, “los planteamientos y la tipología de los problemas exigidos no se corresponden con el nivel competencial trabajado a lo largo del curso de 2º de Bachillerato, introduciendo enfoques inéditos que no figuraban en las directrices de preparación ni en los modelos de exámenes de años anteriores”.

Así lo ha confirmado una de las estudiantes afectadas, que ha señalado que el examen ha sido “muy muy difícil” e incluía contenidos que, tal y como aseguran, no habían preparado durante el curso y “el examen no se parecía en nada” al modelo con el que le habíamos preparado“. ”No nos ha caído nada de un tema al que hemos dedicado toda una evaluación mientras sí han entrado cosas que no habíamos ni tocado“, dice poniendo por ejemplo el tipo de ejercicio de matrices.

Igualmente, la queja registrada en el Rectorado denuncia la “falta de claridad conceptual”. En concreto, los estudiantes señalan que “los enunciados de los ejercicios presentaban una redacción ambigua, confusa y de extrema complejidad formal, dificultando la mera comprensión de qué se estaba solicitando”. En concreto, según han contado los afectados, algunos profesores de Calahorra tampoco entendían los enunciados y han tenido que llamar al coordinador.

Este examen, según se han quejado, genera una “situación de total indefensión” en la comunidad educativa, y deja a los estudiantes “ante la tesitura de no saber cómo prepararse, quebrando la confianza legítima en la labor de sus propios docentes, quienes han impartido escrupulosamente los contenidos oficiales fijados para la comunidad autónoma sin que estos hayan sido suficientes para afrontar la prueba”. Así, la estudiante que ha contado su experiencia a Rioja2 ha enviado el examen a sus profesores: “Han confirmado que no lo veían acorde con los criterios marcados y que no era lo que había preparado”.

Los participantes en el examen de Matemáticas II de la PAU riojana dicen sentir “un profundo malestar y desamparo” ante la prueba y abren de nuevo el debate entre las diferencias de criterios entre comunidades autónomas, subrayando el “agravio comparativo ante, según consideran, ”el menor grado de complejidad y la mayor claridad del examen propuesto este año en comunidades como la de Madrid en comparación con el de La Rioja“.

Que el azar geográfico no determine el futuro académico del alumnado

“Dado que el acceso a la universidad española se rige por un sistema de distrito único, los estudiantes riojanos competimos en una evidente situación de desigualdad, viendo mermadas de forma injusta nuestras opciones de alcanzar las notas de corte necesarias para cursar los grados universitarios más demandados”, recoge la queja presentada ante la Universidad, que respaldan muchos de los testimonios de alumnos que necesitan altas notas de corte para acceder a los estudios que quieren y que temen que el examen de Matemáticas lo impida.

“Ojalá se pudieran repetir el examen, no sé si sería posible, pero si no que se anule algún ejercicio que no se ha centrado en el temario”, demanda una de las afectadas. Los estudiantes recuerdan que se envien quejas por correo electrónico a universidades.educacion@larioja.org. En concreto, la reclamación formal por “falta de adecuación, ambigüedad y desproporcionado nivel de dificultad” pide la “revisión inmediata” de la prueba por parte de la comisión organizadora y los coordinadores de la materia, “medidas urgentes de flexibilización y moderación en los criterios de corrección y baremación de los exámenes de Matemáticas de esta convocatoria” para paliar, tal y como destacan “el impacto negativo y el perjuicio académico causado a los estudiantes de La Rioja”. Igualmente, ante futuras convocatorias, piden “una verdadera uniformidad y equidad en el diseño de las pruebas”, evitando que “el azar geográfico determine el futuro académico del alumnado”.

El 28 de mayo de 1936 la prestigiosa revista británica Proceedings of the London Mathematical Society recibió un manuscrito titulado “On computable numbers with an application to Entscheidungsproblem”. El autor era un matemático de 23 años, graduado por la Universidad de Cambridge un par de años antes, llamado Alan Mathison Turing. Aunque el joven Turing ya había dado muestras de su talento matemático (sus compañeros del colegio ya le llamaban “Mr. Brain”), pocos podían imaginar que ese trabajo (que se publicó el 12 de noviembre de ese mismo año) establecería los cimientos de la informática moderna.

En él, Turing introdujo de manera precisa el concepto de computación para demostrar uno de los límites fundamentales de las matemáticas: que existen problemas (en matemáticas y lógica) que no pueden resolverse mediante un proceso algorítmico. En primer lugar, definió los “números computables” como aquellos cuyos decimales pueden obtenerse mediante un procedimiento bien definido y finito, lo que hoy llamamos un algoritmo. Como ejemplo, demostró que constantes como pi y e son computables, pero que existen números reales que no lo son. Esto le llevó a una pregunta más profunda: ¿qué significa exactamente “computar”? ¿Cómo formalizar la noción misma de cálculo?

Para responderla, introdujo el modelo de lo que hoy en día se conoce como máquina de Turing, la versión abstracta de un programa informático. Una máquina de Turing puede entenderse como una “impresora” de datos (ceros y unos) y estados sobre una cinta infinita. La máquina se sitúa en cierta posición de la cinta y, a partir de sus instrucciones de funcionamiento, realiza una serie de acciones. En primer lugar, lee el símbolo de la posición de la cinta dónde está y, según esta información y su estado de partida, modifica o no el símbolo, cambia su estado a uno nuevo y se mueve un paso hacia la izquierda o la derecha. A continuación, repite el mismo proceso, en la siguiente casilla. Así, la máquina continúa calculando hasta encontrar una orden que la lleve al estado de parada, en el que la máquina se detiene y el cálculo concluye. Si nunca alcanza este estado, el algoritmo entra en bucle y continúa indefinidamente.

Turing entendió la computación como cualquier proceso que puede ser ejecutado (o simulado) mediante una máquina de Turing. En el mismo artículo, analizó la posibilidad de que hubiera una máquina que pudiera realizar “todos los cálculos posibles”, o en otras palabras, una máquina que pudiera simular el comportamiento de cualquier otra máquina de Turing. El científico probó la existencia de dicha máquina, que hoy conocemos como máquina de Turing universal (realmente se pueden construir muchas, unas más simples y eficientes que otras), la cual es considerada como la antepasada conceptual del ordenador y del software. Es decir, todos los ordenadores programables que usamos a diario, desde el móvil hasta el portátil, se fundamentan en estas ideas teóricas.

Los logros anteriores ya hubieran sido suficientes para que el trabajo de Turing de 1936 pasara a la posteridad y, sin embargo, aún falta la cuestión central del artículo: la aplicación de estos conceptos al Entscheidungsproblem (el problema de la decisión). Se trata de una pregunta formulada por el célebre matemático David Hilbert, que planteaba la existencia de un algoritmo “universal” que fuera capaz de determinar, en tiempo finito, si cualquier enunciado lógico o matemático dado es verdadero o falso. Haciendo uso de su máquina, Turing demostró (influenciando por los famosos teoremas de incompletitud de Godel) que no podía existir un algoritmo de ese tipo, destruyendo así el sueño de Hilbert.

Turing mostró que no puede existir un algoritmo capaz de resolver un problema específico: el problema de la parada. Este consiste en determinar, para cualquier algoritmo y cualquier estado inicial, si su ejecución terminará produciendo un resultado o si, por el contrario, continuará indefinidamente, en un bucle infinito. Turing demostró que no hay ninguna máquina de Turing capaz de tomar esa decisión en todos los casos. Por eso, hoy decimos que el problema de la parada es indecidible. Con los años, muchos otros problemas, en contextos muy dispares (desde la mecánica newtoniana hasta la mecánica cuántica, pasando por la óptica geométrica o la dinámica de los fluidos), se han demostrado indecidibles, pero el punto de partida siempre es el famoso problema de la parada resuelto por Turing en 1936.

Aquel trabajo —solo uno dentro de una carrera repleta de contribuciones fundamentales— hace que la deuda de la sociedad contemporánea con el legado matemático de Alan Turing sea indiscutible. Sin embargo, la trascendencia de su obra contrasta con el triste e injusto final del matemático. Dos años después de ser condenado y sometido a castración química por ser homosexual (lo que era considerado un crimen en Gran Bretaña hasta 1967), falleció por ingesta de cianuro, a los 41 años.

Daniel Peralta Salas es profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria, coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT

El Consejo Social de la Universidad de Cantabria (UC) ha concedido el primer premio de Innovación Docente 2025, dotado con 5.000 euros, a un proyecto coordinado por el profesor Jesús Mirapeix que ha desarrollado una herramienta que permite analizar cómo aprende el estudiantado cuando utiliza la IA generativa en actividades académicas.

Se trata del proyecto 'Integrando la inteligencia artificial en la educación superior universitaria mediante la aplicación SAPIN', y su principal aportación es que registra y analiza todo el proceso de interacción entre el alumnado y la IA. La herramienta se ha aplicado en distintas asignaturas de grado y máster de Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación, principalmente, hasta un total de 50, aunque sus impulsores destacan su potencial para extenderse a otras disciplinas.

Las actividades desarrolladas incluyen resolución de problemas, explicación de conceptos técnicos, análisis de contenidos y apoyo a prácticas de laboratorio. En total, más de 424 estudiantes han interactuado con el programa.

De este modo, el profesorado puede observar cómo se construye el razonamiento, detectar dificultades y valorar si existe una comprensión real de los contenidos. Además, la aplicación permite adaptar las actividades a diferentes asignaturas y contextos, desde prácticas de laboratorio hasta ejercicios conceptuales o preparación de exámenes, según ha informado la UC en nota de prensa.

La herramienta SAPIN se materializa en una aplicación web integrada en el entorno docente de la Universidad. A través de ella, el profesorado diseña actividades específicas y el alumnado accede desde Moodle, sin necesidad de registros adicionales.

Durante la actividad, el sistema almacena el diálogo completo con la IA, generando un registro que posteriormente puede utilizarse para el análisis docente y la retroalimentación personalizada. De esta forma, además del seguimiento individualizado, la plataforma incorpora analíticas que ayudan a detectar patrones comunes de uso y dificultades recurrentes, con lo que ofrece información útil para mejorar tanto la evaluación como el diseño de las actividades docentes.

En las pruebas realizadas, el profesorado ha podido identificar comportamientos muy distintos: desde estudiantes que utilizan la IA para profundizar y contrastar conocimientos, hasta otros que recurren a respuestas automáticas sin reflexión crítica.

El proyecto ha evolucionado rápidamente gracias a la colaboración entre profesorado y desarrolladores. En la actualidad, SAPIN se encuentra ya en una fase avanzada de implantación y mejora continua.

El equipo se completa con Adolfo Cobo, Carmen Álvarez Álvarez, Pedro Anuarbe Cortés, Rosa García Ruíz y Luis Rodríguez Cobo.

Nuevas metodologías en matemáticas

Por su parte, el accésit, dotado con 2.000 euros, ha recaído en el proyecto 'Innovar para aprender: transformando la enseñanza de las matemáticas en la ingeniería mediante metodologías activas', coordinado por María Dolores Frías y desarrollado por el grupo docente InMaths.

La iniciativa impulsa nuevas metodologías de enseñanza-aprendizaje en asignaturas de Matemáticas mediante la combinación de aula invertida, recursos audiovisuales, juegos educativos, materiales interactivos y prácticas ejecutables en la nube. El objetivo es reforzar la motivación del estudiantado, favorecer el aprendizaje autónomo y conectar las matemáticas con la formación técnica específica de las ingenierías.

El proyecto se ha implantado en 15 asignaturas pertenecientes a siete grados de Ingeniería de tres centros de la UC, alcanzando a más de 2.200 estudiantes desde el curso 2021-2022.

El equipo impulsor de la iniciativa se completa con los profesores Joaquín Bedia Jiménez, Ana Casanueva Vicente, Vera Egorova, Valvanuz Fernández Quiruelas, Rodrigo García Manzanas, Sara Pérez Carabaza, Carmen Sordo García.

¿Qué significa que dos números estén cerca? Habitualmente, basta con mirar la distancia entre ellos en la recta numérica. Sin embargo, en matemáticas existe toda una familia de números para los que esta intuición deja de funcionar. En ellos, la cercanía no depende de cuánto difieren dos cantidades, sino de cómo lo hacen. Son los números p-ádicos, una genial invención matemática con profundas conexiones con la física y la geometría.

La idea la tuvo el alemán Kurt Hensel hace poco más de cien años. Hensel creó estos números para visualizar los números enteros de forma peculiar: como sumas infinitas de potencias de un número primo p (que solo es divisible por 1 y él mismo). Para que esas sumas se aproximaran a números, tuvo que inventarse una nueva noción de distancia, donde los conceptos de cerca y lejos no tienen nada que ver con los que usamos habitualmente. 

Su aparición es, por tanto, menos intuitiva que otras clases de números, que surgen en cuestiones cotidianas. Por ejemplo, los números racionales, o fracciones de enteros, son valores que aparecen al hacer repartos. Al dividir una tarta entre ocho personas, a cada una le corresponde 1/8. Cualquier medición científica o proceso informático emplea solo este tipo de cantidades, sin embargo, sabemos que en la naturaleza existen otras cantidades: los números irracionales. Por ejemplo, para calcular el área de un terreno circular se hace uso de π (la superficie es π multiplicado por el radio al cuadrado). Esta constante (3,1415…) tiene infinitos dígitos decimales y no se puede expresar como fracción de dos enteros. Nadie conoce todas sus cifras. O, por otro lado, la longitud del lado más largo de un terreno triangular, con dos paredes de longitud 100 en ángulo recto, es la raíz cuadrada de 20.000 (siguiendo el teorema de Pitágoras), que tampoco es expresable como fracción. 

Más allá de estos ejemplos, los números irracionales están por todas partes. Así, entre dos fracciones, por muy cercanas que estén, siempre existen números entre ellas que no pueden escribirse como fracción. Es decir, si imaginamos un segmento horizontal de longitud uno (en un extremo situamos 0 y en el otro 1) y colocamos sobre él todas las fracciones (1/2, 1/3, 1/4, 5/6, 7/9, 25/27 y, en realidad, infinitas más), estas quedan distribuidas por todo el segmento, pero no lo llenan completamente: hay puntos que no corresponden a ninguna fracción, es decir, números irracionales. Esos puntos que faltan, o huecos, pueden definirse matemáticamente como valores a los que se aproximan sucesiones de fracciones cuyos términos se van acercando cada vez más entre sí. La cercanía entre números se mide con la distancia habitual (por ejemplo, la distancia entre −3 y 5 es 8).  

Si se juntan las fracciones y los números irracionales se completa el segmento, obteniéndose un continuo, sin saltos entre elementos. Lo mismo pasa si se considera una línea horizontal infinita. Así se obtienen los números reales, representados por dicha línea, que son los que tradicionalmente se emplean para formular las leyes de la naturaleza, que, durante mucho tiempo, se ha creído que cumple esta premisa de continuidad a todas las escalas.

Pero hay formas más exóticas de rellenar los huecos entre fracciones, en las que no se obtiene un continuo visual sino fractal. Este continuo lo forman precisamente los números que inventó Hensel: los p-ádicos, donde p es un número primo. Para construirlos, se hace lo mismo que con los irracionales: se ven como los valores a los que se acercan sucesiones de fracciones cuyos términos están cada vez más próximos entre sí. Sin embargo, aquí se emplea una noción de cercanía o proximidad más extravagante: dos fracciones están p-ádicamente cerca si en el numerador de su diferencia aparece una potencia alta de p, y están p-ádicamente lejos si en el denominador de su diferencia aparece una potencia alta de p. Por ejemplo, 2/5 y 1/16 están cerca 3-ádicamente porque en el numerador de su diferencia, 27/80, aparece un 3 elevado a 3. Sin embargo, como el 80 del denominador es 5 por 2 elevado a 4, esas dos mismas fracciones están lejos 2-ádicamente.

Al rellenar así los huecos entre 0 y 1 no se obtiene un segmento, sino una estructura arbóreo-fractal. Desde hace décadas, físicos y matemáticos están fascinados por ella. De hecho, hay una corriente en teoría de cuerdas, cosmología y mecánica cuántica, que cuenta entre sus filas con importantes científicos, en base a la cual a escalas de 10 a la menos 35, el espacio-tiempo podría modelarse mejor con números p-ádicos que con reales, o, como mínimo, la versión p-ádica arrojaría nueva luz sobre el mundo a esa escala minúscula. La idea que subyace es que, hasta la llegada de la física cuántica, se pensaba que la materia era un continuo, que quedaba bien descrita por los números reales. Sin embargo, en el mundo cuántico, la realidad está formada por partículas diferenciadas, lo que no encaja del todo en la intuición clásica de continuidad. En ese contexto, los números p-ádicos ofrecen una geometría alternativa, que abre la puerta a describir estructuras microscópicas del espacio-tiempo de una manera más acorde con la naturaleza granular que sugiere la física cuántica.

También dentro de las matemáticas los números p-ádicos son relevantes. Juegan un papel fundamental en teorías matemáticas profundas como el programa de Langlands. El alemán Peter Scholze recibió recientemente la Medalla Fields, considerado el Nobel de las matemáticas, en parte, por su trabajo con números p-ádicos.

Más recientemente estos números han reaparecido en física y geometría simpléctica, arrojando nueva información sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg y otros fenómenos.

El hecho de que las mediciones experimentales se hagan empleando exclusivamente fracciones deja la puerta abierta a la pregunta de si hay aspectos de la naturaleza sobre los cuales los números p-ádicos u otros sistemas numéricos pueden ayudarnos a descifrar. Si fuese el caso, habrá consecuencias en muchas áreas, incluyendo computación cuántica. El tiempo y los experimentos dirán si contar con estos extraños números es solo una fascinante teoría matemática o una potente herramienta para entender la naturaleza.

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Álvaro Pelayo, académico de la Real Academia de Ciencias de España y catedrático de Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid.

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT.

La única bola de cristal que funciona para predecir el futuro es la ciencia. La física tiene el poder de conocer el devenir de un tipo concreto de sistemas, llamados sistemas integrables. Por ejemplo, una peonza o el sistema formado por dos cuerpos masivos que se atraen entre sí (como la Tierra y la Luna). Sabiendo el estado actual de esos sistemas, se puede anticipar cuál será su estado en cualquier otro momento. 

Sin embargo, existen otros tipos de sistemas en los que reina el caos y no es posible dar una fórmula que describa su movimiento. Por ejemplo, el sistema formado por tres cuerpos masivos, como los formados por dos estrellas alrededor de las cuales orbita otra más lejana, que abundan en el universo. En estos casos, existe una sensibilidad tal a pequeñas perturbaciones, que estas pueden generar cambios drásticos muchos siglos después: que una de las estrellas sea expulsada o que dos de ellas colisionen. Es imposible predecir su avance. 

Ahora bien, existe un motivo por el cual no se puede anticipar el futuro de estos sistemas y sí el de los otros: su descubrimiento —que tardó varios siglos en producirse— no se gestó en la física, sino en la geometría. 

En el siglo XVII, el físico y matemático inglés Isaac Newton consolidó la idea de que los procesos de la naturaleza podrían predecirse con antelación, gracias a sus leyes de la mecánica y su teoría de la gravitación universal. El científico y filósofo francés Pierre-Simon Laplace llevó al extremo el entusiasmo afirmando que, conociendo el estado de todos los elementos del universo y con la capacidad de cálculo suficiente, sería posible vaticinar cualquier proceso futuro con una única fórmula. 

Con grandes expectativas, los científicos y las científicas se embarcaron en una intensa búsqueda para encontrar fórmulas que permitieran conocer el estado de todo tipo de sistemas en cualquier instante de tiempo. Algunos de los primeros y más famosos ejemplos son tres tipos concretos de peonzas: la de Leonhard Euler, el caso más simple, que es un sólido rígido que gira sin que actúen fuerzas externas sobre él; la de Joseph-Louis Lagrange, algo más difícil de estudiar, que se corresponde con la peonza simétrica con la que habitualmente se juega; y la de Sofía Kovalevskaya, cuya dinámica es la más complicada de tratar ya que tiene una asimetría particular. 

Otro de los grandes ejemplos lo resolvió el propio Newton: el problema de los dos cuerpos, que describe el movimiento de dos masas que interactúan entre sí debido a la gravedad. Este sería el caso de la Luna girando alrededor de la Tierra, si no se tiene en cuenta ningún otro planeta ni el Sol. Para este problema se pueden hallar fórmulas precisas de las órbitas seguidas, que dependen de las condiciones iniciales de cada sistema. 

El problema de los tres cuerpos

Más allá de estos ejemplos, apenas se hallaron otros; incluso al intentar ampliar mínimamente los casos conocidos, dejaban de funcionar. Por ejemplo, la extensión del modelo de los dos cuerpos al incorporar un tercero ya no se comporta del mismo modo. Sorprendentemente, el tercer cuerpo cambia por completo el problema: sus soluciones se vuelven casi imposibles de calcular. Tal y como se presenta al comienzo de la serie “El problema de los tres cuerpos” de Netflix, se trata de un problema que ha sido estudiado a lo largo de los siglos y para el que solo se ha hallado alguna solución particular.

En 1885, el matemático francés Henri Poincaré se centró en investigarlo, para saber si era posible predecir matemáticamente el futuro de todo el sistema solar. Empleó una geometría mucho más avanzada que la usada por Newton y descubrió algo que hizo cambiar todas las expectativas de predecir el provenir de los sistemas físicos. Demostró formalmente que, aunque se pueden obtener ecuaciones que describen el movimiento de los tres cuerpos, no ofrecen predicciones del futuro. Es decir, por mucho que se intente, en la mayoría de casos es imposible encontrar soluciones explícitas a tales ecuaciones. Lo mismo ocurre para un sistema formado por cuatro, cinco o más cuerpos. Esto no implica que no se puedan hacer aproximaciones numéricas con ayuda de ordenadores (se hacen, y son las que permiten colocar satélites en órbita o enviar astronautas a la Luna). Pero es imposible descartar la posibilidad de que se produzcan cambios significativos en el sistema solar en un futuro lejano, respecto a lo esperado. 

Poincaré demostró la naturaleza caótica del problema de los tres cuerpos, pero sin explicar por qué, por el contrario, la de los dos cuerpos era completamente predecible. No fue hasta que se integraron los trabajos del matemático francés Joseph Liouville, en el siglo XIX, y del matemático ruso Vladímir Arnold, en el siglo XX, que el asunto empezó a cobrar sentido. El llamado teorema de Liouville-Arnold cubre todos los problemas de la dinámica que han sido resueltos de manera exacta hasta hoy y muestra que es la geometría intrínseca de la naturaleza la que determina el movimiento de los cuerpos y la que puede decidir si su futuro es predecible o no. 

El teorema dice que, para que el sistema sea integrable, es decir, para que podamos calcular sus soluciones explícitamente, éste tiene que tener suficientes magnitudes físicas (como la energía) que permanezcan constantes a lo largo del tiempo. Esta idea física se traduce, geométricamente, en que la información del movimiento del cuerpo a lo largo del tiempo está inmersa en una estructura con forma de donut de la misma dimensión que el sistema. En contraposición, en los sistemas caóticos, dicha información no está confinada y su representación geométrica puede estirarse y plegarse, lo que se corresponde con movimientos impredecibles.

Sin embargo, identificar y caracterizar los sistemas integrables no ha hecho que concluya su estudio. Al contrario, ha impulsado campos como el de la geometría compleja, que usa tan solo polinomios para expresarse y que incluye los números complejos (donde existe la raíz cuadrada de -1). 

Este tipo de geometría es especialmente importante para ciertos sistemas integrables, llamados sistemas de Hitchin (propuestos por el matemático inglés Nigel Hitchin, premio Shaw en 2016). Curiosamente, estos son omnipresentes en la física matemática actual, por ejemplo, aparecen como objetos geométricos de la teoría de cuerdas y, a la vez, engullen todos los sistemas integrables clásicos. Es decir, se sabe que contienen algunos de los sistemas integrables conocidos y se espera que contengan más. Su estudio es una rama extremadamente activa de la geometría y la física actual.

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Marina Logares es profesora de la Universidad Complutense de Madrid y Elisa Ramírez es comunicadora científica beneficiaria dela IV Ayuda CSIC-FBBVA de Comunicación Científica.

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Hace unos 2.600 millones de años ocurrió algo que para algunos biólogos fue casi tan improbable como la propia aparición de la vida: la unión de una arquea y una bacteria dio lugar a la primera célula eucariota (con núcleo), lo que permitió a la larga la aparición de seres multicelulares, desde los hongos a las plantas y los animales. Sin este salto, que le llevó a la vida tanto tiempo como su propia aparición, el planeta estaría habitado exclusivamente por seres unicelulares y no habría complejidad ni nosotros estaríamos aquí. ¿Qué pasó para que se produjera este cambio? ¿Era inevitable o fue una cuestión de azar?

Después de 30 años de “ciencia lenta”, cuatro investigadores españoles procedentes de disciplinas tan dispares como la física, la bioinformática y la biología, han aportado una respuesta que les ha valido el reconocimiento de la Academia Nacional de Ciencias de EEUU (NAS). Enrique Muro, Fernando Ballesteros, Bartolo Luque y Jordi Bascompte han recibido el Premio Cozzarelli por un trabajo que publicaron en la revista PNAS hace un año en el que usaron las leyes físicas y matemáticas para mostrar que la aparición de las células eucariotas no fue un accidente evolutivo, sino una solución algorítmica: la vida se encontró con un “muro computacional” y alcanzó la complejidad gracias a un cambio de “sistema operativo”. 

Investigación a fuego lento

El trabajo se ha ido gestando a fuego lento durante las últimas tres décadas, pero tuvo su chispa inicial cuando tres de ellos —Muro, Ballesteros y Luque— trabajaban en el Centro de Astrobiología (CAB-INTA-CSIC) y trataban de utilizar las herramientas estadísticas para estudiar a los seres vivos. Fue entonces cuando se dieron cuenta de que había un enorme vacío en las bases de datos genéticas. “Después de 70 años de bioinformática, a nadie se le había ocurrido medir las distribuciones de longitudes de los genes”, explica Luque. 

Es un muro computacional en el cual las cosas se ponen realmente complicadas. A partir de ahí, o te frenas o consigues saltar al otro lado y liberas un montón de complejidad

Fernando Ballesteros — Astrofísico de la Universidad de Valencia y coautor

Al ordenar a todos estos seres vivos según su material genético, descubrieron que la longitud media de los genes actúa como un marcador de la complejidad evolutiva, pero no ocurría lo mismo con las proteínas. Estas crecen en longitud a la par que los genes pero se estabilizan al alcanzar un tamaño de 500 aminoácidos, como si la evolución se topara con una pared invisible a partir de la cual el tamaño de las proteínas permanece estable. “Es un muro computacional en el cual las cosas se ponen realmente complicadas”, explica Ballesteros. “A partir de ahí, o te frenas o consigues saltar al otro lado y liberas un montón de complejidad”.

Tras analizar las bases de datos de más de 33.000 especies del árbol de la vida, ya con la incorporación del gran especialista en redes ecológicas Jordi Bascompte, los científicos comprobaron que se produjo un salto en el momento de la aparición de las primeras eucariotas. En el trabajo premiado concluyen que hubo una “transición de fase algorítmica” que cambió las reglas del juego de la vida: permitió que un solo gen, al combinarse en diferentes fragmentos, fabricara multitud de proteínas distintas sin necesidad de hacerlas más grandes. Como si estas nuevas células vinieran provistas de una navaja suiza molecular.

En los organismos más básicos, la regla es directa: un gen más largo produce matemáticamente una proteína más larga, pero sus longitudes se estancan al llegar al límite crítico en el que seguir alargándolas requiere demasiada energía y tiempo. Lo que proponen los autores es que, con la aparición de estas nuevas células con núcleos y orgánulos, los genes dejaron de emplearse para construir proteínas inabarcables y la evolución se sacó de la manga un “hackeo” brillante. Y lo hizo tras incorporar de forma masiva secuencias “no codificantes” (intrones) en las regiones que no fabrican directamente proteínas, sino que ejercen complejas funciones de regulación, el llamado “ADN oscuro”.  

Un callejón sin salida

“Nuestro planteamiento nos permite entender por qué la vida tardó tanto en incrementar la complejidad y por qué, cuando finalmente pudo hacerlo, se produjo un salto cualitativo”, explica Bascompte a elDiario.es. “El motivo es que la evolución entró en un callejón sin salida. La solución que había inventado la evolución para regular la actividad génica y para incrementar la complejidad tenía un límite, que era de naturaleza computacional”. Un hecho interesante, recalca, es que los modelos matemáticos que copian a la evolución para encontrar soluciones, los algoritmos genéticos, se encuentran con estos momentos de bloqueo, lo que les llevó a explorar este paralelismo. 

Nuestro planteamiento nos permite entender por qué la vida tardó tanto en incrementar la complejidad y por qué, cuando finalmente pudo hacerlo, se produjo un salto cualitativo

Jordi Bascompte — Catedrático de Ecología en la Universidad de Zúrich y coautor del estudio

“¿Cómo salta la evolución ese límite?”, plantea Bascompte. “Cambiando de solución: en lugar de ir por ese camino de encontrar proteínas cada vez más largas, de repente pasa a una solución combinatoria”. Al unirse las dos células que dan lugar a la eucariota, argumenta, aparece la mitocondria, que tiene una serie de genes que ya no necesita. “Se desembaraza de ellos y esos genes pasan a incorporarse en el núcleo y eso forma los primeros intrones. Las cosas son un poco más complicadas, pero, esencialmente, ese proceso de endosimbiosis creó un número de intrones muy grande que facilitó una nueva solución combinatoria. De repente tú tienes muchas combinaciones; es como tener piezas de Lego en lugar de un juguete fijo, así es cómo la evolución pasó a ese nuevo sistema operativo”.

Inevitable o azaroso: una larga controversia

Al sugerir que la complejidad biológica surgió en parte como un imperativo determinista para esquivar el colapso informático de la naturaleza, la propuesta ha sido acogida con escepticismo y críticas por biólogos y bioinformáticos, ya que cuestiona una de las bases del darwinismo evolutivo: el papel fundamental del azar. Decía el paleontólogo Stephen Jay Gould que la evolución no puede deducirse de ninguna ley de complejidad y lo defendía con un famoso ejemplo: si rebobináramos la historia de la vida y la reprodujéramos con pequeñas variaciones, el resultado sería cada vez diferente. Otros, como el biólogo Stuart Kauffman, del Santa Fe Institute, se sitúan en el extremo contrario y sostienen que la vida no es el resultado azaroso de incontables mutaciones filtradas por la selección natural, sino que es, en un sentido muy literal, inevitable.

Su planteamiento recuerda a la idea de que la naturaleza no explora un espacio ilimitado de posibilidades, sino que está sujeta a restricciones estructurales, del mismo modo que ocurre con las formas geométricas

Antonio Salas — Genetista de la Universidad de Santiago (USC)

Antonio Salas, genetista de la Universidad de Santiago (USC) experto en genética de poblaciones, que es uno de los colectivos que ve esta aproximación con más recelo, cree que el artículo resulta intelectualmente muy atractivo porque propone la existencia de una regularidad profunda en la evolución biológica, una especie de “ley de escala” que atraviesa todo el árbol de la vida. “Su planteamiento recuerda a la idea de que la naturaleza no explora un espacio ilimitado de posibilidades, sino que está sujeta a restricciones estructurales, del mismo modo que ocurre con las formas geométricas: no existe un número infinito de poliedros regulares posibles”, señala. 

Para Salas, la idea de una “transición de fase” en el origen de los eucariotas añade un componente interdisciplinar sugerente, al trasladar conceptos de la física y la teoría de algoritmos al terreno de la biología evolutiva. “Sin embargo, a mi juicio, esta misma fortaleza es también su principal limitación”, comenta. “El artículo tiende hacia un cierto reduccionismo estructural, en la medida en que parece sugerir que las restricciones formales (o incluso algorítmicas) bastan para explicar la emergencia de la complejidad biológica”. Es aquí donde, para el experto, la crítica clásica de Stephen Jay Gould resulta especialmente pertinente. “No basta con describir el espacio de lo posible; es necesario explicar por qué la evolución recorre unos caminos y no otros”, apunta. “Las proteínas podrían tener explicaciones alternativas bien establecidas, que no requieren necesariamente una interpretación algorítmica”.

Es un buen inicio, pero falta todavía una teoría más elaborada para explicar la realidad biológica

Gemma Marfany — Catedrática de Genética de la Universidad de Barcelona (UB)

Gemma Marfany, catedrática de Genética de la Universidad de Barcelona (UB), considera que es un artículo “ciertamente provocador”, pero cree que falta la pregunta crucial: ¿cómo surgieron estas secuencias no codificantes? “Como genetista molecular me falta que expliquen que todos los intrones derivan de parásitos moleculares oportunistas, que ‘infectaron’ los genomas de esa célula ancestral LUCA, porque esa domesticación tiene un coste energético elevado”, señala. En otras palabras, resume, no se ha contemplado el compromiso evolutivo (trade-off) entre gasto de energía/eficiencia biológica/complejidad y diversidad de la información. “Es un buen inicio, pero falta todavía una teoría más elaborada para explicar la realidad biológica”, comenta.

Lluis Montoliu, investigador del Centro Nacional de Biotecnología (CNB-CSIC), cree que el trabajo es un ejemplo de cómo resolver una cuestión casi filosófica con datos matemáticos y con un modelo físico. “Parece que una solución alternativa que se debió explorar y triunfó, fue no crecer en forma de proteínas cada vez más grandes, sino quedarse con unos dominios discretos y generar muchísima más complejidad con la combinación que representa los interruptores génicos”. La ironía, señala, es que esta solución estuvo en el ADN que muchos han llamado “basura”, que habría tenido un papel determinante.

¿Transición de fase o espejismo?

Otros especialistas, como el informático, físico y doctor en matemáticas Francis Villatoro, son todavía más críticos. Villatoro cree que la conclusión de que hay una transición de fase algorítmica es demasiado fuerte y no está apoyada por el análisis estadístico que se presenta. “Que los intrones sean más largos conforme evolucionan los organismos eucariotas puede estar asociado al ruido evolutivo”, asegura. “Seguro que hay muchas otras explicaciones asociadas al mecanismo de corte y empalme sin necesidad de recurrir a una hipotética complejidad algorítmica de origen biológico”.

Bascompte admite que no han demostrado formalmente que se produzca una transición de fase algorítmica, pero sostiene que han aportado una serie de indicios y hacen una serie de predicciones que se cumplen cuando se asume esta premisa. “La crítica es razonable y correcta desde un punto de vista formal, pero cuando se proporcionan hasta cuatro evidencias fuertes como mínimo, uno tiene que aceptar que hay evidencia muy grande de que eso podría ser una transición de fase”, asegura. 

Respecto al debate sobre el determinismo, Bascompte considera que no hay ningún problema en aceptar que la evolución avanza por azar y reconocer, al mismo tiempo, que encuentra límites físicos. “Es la misma crítica que sufrió Lynn Margulis cuando intentó publicar su teoría endosimbiótica”, afirma. “Porque el modelo conceptual es el neodarwinismo, que es totalmente válido y un pilar conceptual gigantesco, pero no sirve para explicarlo todo”. En su opinión, lo más bonito del trabajo es cómo une el azar de la evolución con la capacidad de predicción de la física. “Una vez que sucede la endosimbiosis por puro azar, la física te dice por qué hubo un límite y cómo se pudo rebasar”.

El debate no solo aborda la cuestión filosófica sobre por qué estamos aquí, sino que tiene implicaciones en la búsqueda de vida extraterrestre, admiten los autores. “Eso es un problema totalmente general”, asegura Bartolo Luque. “Si la solución que tú encuentras se llama vida, el mismo esquema funcionaría en Marte y en otros lugares”. Para Bascompte, la complejidad de la vida eucariota implica que será mucho más probable que esta aparezca en estado unicelular. “Sin duda, en muchos millones de planetas se habrá dado la vida”, señala. “Otra cosa es que haya pasado de ese estado inicial a esa singularidad que tardó otros 2.000 millones de años en aparecer en nuestro planeta. Sencillo no debe ser”. 

Gerd Faltings, uno de los matemáticos más influyentes de los últimos 50 años, es el ganador del premio Abel 2026, uno de los dos galardones más importantes en las matemáticas, otorgado por la Academia Noruega de Ciencias y Letras. El otro premio de mayor relevancia, la Medalla Fields, lo obtuvo en 1986, tras demostrar tres importantes conjeturas: la conjetura de Tate para variedades abelianas, la conjetura de Shafarevich y la conjetura de Mordell, siendo esta última la que le dio fama internacional. 

Según su perfil investigador de miembro de la Academia Europaea, Gerd Faltings investiga “en aquello que le parece interesante”. Sin embargo, el grueso de su investigación pertenece al campo de la geometría aritmética. Este término puede parecer una contradicción en sí mismo: mientras la geometría estudia fenómenos continuos, sin saltos ni cortes, la aritmética se centra en objetos discretos, es decir, en cantidades separadas y contables. La geometría trata de las formas de objetos matemáticos. Por ejemplo, para explorar una ecuación polinomial (es decir, una combinación de sumas, restas y multiplicaciones de variables elevadas a exponentes enteros), la geometría permite analizar la forma que tienen las soluciones. La aritmética, por el contrario, estudia principalmente los números enteros o los números racionales. Para estudiar una ecuación, la aritmética se pregunta si tiene soluciones con coordenadas enteras o racionales y cuantas hay. 

El término “geometría aritmética” se puede entender de dos formas distintas. La primera, quizás la más superficial, afirma que la geometría, la forma, determina las propiedades aritméticas. La segunda, más profunda, plantea que existe una analogía entre la geometría y la aritmética que permite transferir la intuición de una ciencia a la otra y que, usando el lenguaje apropiado, ambas se pueden unir. 

La conjetura de Mordell, que permaneció abierta durante 60 años hasta que Faltings la demostró, es un ejemplo perfecto de ambos puntos de vista. La conjetura de Mordell afirma que, efectivamente la forma, la geometría, determina la aritmética. En concreto, que, si una ecuación tiene cierta propiedad geométrica, entonces el conjunto de sus soluciones racionales es siempre finito. Se trata de ecuaciones cuyas soluciones definen una curva, un objeto matemático de dimensión uno. Por ejemplo, las soluciones de un polinomio en dos variables forman una curva. Y, si se consideran las soluciones que tiene como coordenadas números complejos, obtenemos lo que llamamos una curva compleja. Una propiedad geométrica interesante de esa curva compleja es el llamado género, que en este caso se corresponde con el número de agujeros. Si la curva tiene género cero, su forma es la de una esfera (con cero agujeros). Si tiene género uno, su forma es la superficie de una rosquilla (con un agujero).

Pues bien, esta característica geométrica está muy relacionada con las soluciones racionales. Si el género es cero, puede no haber ninguna solución con coordenadas racionales, pero si hay una solución, entonces hay infinitas. Si el género es uno, el número de soluciones con coordenadas racionales puede ser finito o infinito. Pero si el género es mayor que uno, tal y como probó Faltings, nunca puede haber infinitas soluciones racionales.

La analogía entre geometría y aritmética, el segundo punto de vista que mencionamos antes, predice que la conjetura de Mordell tiene un alter ego puramente geométrico, donde la curva se transforma en una familia de curvas que dependen de un parámetro y los puntos racionales se convierten en secciones de esta familia. Yuri Manin (en 1963) y Hans Grauert (en 1965) habían demostrado ya la versión geométrica de la conjetura de Mordell usando herramientas propias de la geometría. La intuición que proporciona el gemelo geométrico guio a Gerd Faltings para encontrar una demostración de la conjetura de Mordell original que sorprendió a los expertos de la época y que abrió numerosas vías de investigación.

Tras resolver la conjetura de Mordell, Gerd Faltings resolvió otras conjeturas importantes como la conjetura de Mordell–Lang. Su trabajo ha transformado muchos campos de la matemática moderna: la resolución de ecuaciones diofánticas, la teoría de Arakelov, la teoría de variedades abelianas, los espacios de moduli de fibrados vectoriales y la teoría de Hodge p-ádica. En palabras de la Academia de Ciencias Noruega, quien otorga el premio Abel, Gerd Faltings recibe el galardón “por introducir potentes herramientas en geometría aritmética y por resolver las conjeturas, largo tiempo abiertas, de Mordell y Lang”.

José Ignacio Burgos es investigador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT 

En matemáticas, una vez que se sabe que algo es cierto, es habitual intentar ir más allá y preguntarse si sigue siéndolo en otras situaciones. El teorema de Pitágoras, que se enseña en colegios de todo el mundo, es una verdad matemática, fundamental para el desarrollo de la geometría, la arquitectura, la ingeniería y la ciencia en general, ya era conocida en la antigüedad. 

El teorema presenta la relación entre los lados x, y y z de un triángulo rectángulo: x^2 + y^2 = z^2. Pero, ¿es posible encontrar números enteros x, y y z que cumplan x^3 + y^3 = z^3? De forma general, ¿existen números enteros que verifiquen esta igualdad para exponentes mayores que dos? Así aparece el hermano mayor del teorema de Pitágoras: el último teorema de Fermat. 

Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, fue el primero en hacerse esta pregunta, mientras estudiaba la obra de clásicos griegos como Diofantes. Él mismo conjeturó que no es posible hallar números que cumplan la igualdad. Y, según cuenta la historia, fue capaz de demostrarlo, aunque con la mala suerte de no tener suficiente papel para escribirlo. 

La pregunta quedó, por tanto, sin respuesta. Después de Fermat, incontables matemáticos intentaron encontrar una alternativa a aquella milagrosa demostración perdida. Leonhard Euler, por ejemplo, comprobó que es imposible cuando los números están elevados a tres. Otros, como Gabriel Lamé, creyeron haber dado con la respuesta. 

Aunque el problema trata de números enteros, algunos matemáticos consideraron que podía ser interesante ampliar el tipo de números con los que se trabaja para poder factorizar mejor la ecuación. Siguiendo estas ideas, Lamé pensó que, al igual que los números enteros pueden expresarse de una única manera como producto de primos, también ocurría para otras estructuras, que incluyen los llamados números complejos (dentro de los que existe la raíz cuadrada de -1). Si esa propiedad —la factorización única— también fuera válida en esos nuevos sistemas de números, el problema podría descomponerse en factores más simples y el último teorema de Fermat quedaría demostrado.

Durante un breve momento, en 1847, pareció que el misterio por fin se había resuelto. Pero la alegría duró poco. Joseph Liouville señaló una dificultad seria: en esos sistemas de números la factorización única no siempre se cumple. Poco después, Ernst Eduard Kummer mostró con ejemplos concretos que, efectivamente, existen números que pueden descomponerse de más de una manera distinta. El razonamiento de Lamé, por tanto, no era válido.

Sin embargo, el error resultó extraordinariamente fértil. Para entender y reparar ese fallo, Kummer desarrolló nuevas herramientas, como los llamados números ideales, que dieron origen a toda una nueva área de las matemáticas: la teoría algebraica de números. El desarrollo moderno de la teoría algebraica de números fue el que permitió finalmente, más de un siglo después, dar respuesta a la pregunta de Fermat. Andrew Wiles, con objetos como curvas elípticas y representaciones de Galois, pudo demostrar formalmente que, efectivamente, la igualdad x^n + y^n = z^n no se cumple para ninguna terna de números enteros x, y y z, cuando n es mayor que dos. 

Más allá de premios y condecoraciones –Wiles fue incluso nombrado caballero en Reino Unido–, con su trabajo, Wiles introdujo un sinfín de novedades. En su búsqueda de una solución, desarrolló nuevas ramas de estudio y ofreció puntos de vista diferentes con los que abordar otros problemas. Parte de su teoría ha visto aplicaciones imprescindibles en áreas como la criptografía, proporcionando algoritmos que garantizan la seguridad de mensajes enviados a través de internet.

En efecto, las llamadas curvas elípticas son la base de muchos sistemas de cifrado modernos, desde transacciones bancarias hasta comunicaciones seguras en la web. Así, la solución al último teorema de Fermat no solo cerró un capítulo de la historia de las matemáticas, sino que transformó herramientas teóricas en aplicaciones prácticas que hacen posible la seguridad digital en nuestra vida cotidiana.

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Iván López Navarro es estudiante de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y uno de los cuatro participantes de la primera edición del Mathematics Intensive Program del ICMAT, un programa de alto rendimiento en matemáticas para universitarios, que acaba de lanzar su segunda convocatoria (abierta hasta el 15 de abril) 

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT 

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Comprobar si un cálculo sencillo esconde una trampa lleva a veces más tiempo del esperado. El problema de Brocard–Ramanujan parte de una igualdad muy fácil de escribir y plantea si existe algún número cuyo cuadrado menos uno coincida con el factorial de otro, es decir, con el producto de todos los enteros desde 1 hasta una cifra dada.

La pregunta sobre para qué sirve no tiene una respuesta inmediata, porque no nace para diseñar una máquina ni para cifrar mensajes, sino para entender hasta dónde llegan ciertas relaciones entre números. Sin embargo, ese tipo de retos pone a prueba los métodos de la teoría de números y obliga a crear herramientas nuevas cuando las conocidas no bastan.

En el fondo, conecta con las ansias de resolver todo aquello que se resiste, porque cada intento fallido deja claro que la dificultad no está en la forma de la ecuación, sino en la estructura profunda que la apuntala y que aún no se ha logrado desentrañar.

Wataru Takeda trasladó la incógnita a otro terreno y cerró allí todo lo que quedaba por aclarar

Esa dificultad histórica cambió cuando el doctor Wataru Takeda, del Department of Mathematics de la Faculty of Science de Toho University, publicó en febrero de 2026 en la revista Finite Fields and Their Applications la resolución completa del análogo polinómico del problema de Brocard–Ramanujan.

El trabajo no aborda la versión con números enteros que sigue abierta, pero sí traslada la pregunta a otro marco matemático y la cierra por completo en ese entorno. En el propio artículo se recuerda que “el problema de Brocard-Ramanujan es un problema sin resolver de teoría de números para encontrar soluciones enteras (x, n) a x² − 1 = n!”, una formulación que cualquier estudiante puede leer sin dificultad. (*) [Por un problema de visualización, los exponentes de las fórmulas mencionadas aparecen abajo, aunque se posición correcta sea arriba]

Takeda consigue determinar todas las soluciones cuando la ecuación se plantea con polinomios sobre campos finitos, y ese resultado ofrece un mapa completo allí donde antes solo había ejemplos aislados.

La ecuación clásica, x² − 1 = n!, fue propuesta en 1876 por el matemático francés Henri Brocard y años después retomada de forma independiente por Srinivasa Ramanujan. Ambos conjeturaron que solo existen tres soluciones concretas, algo que el artículo recoge al señalar que “conjeturaron que las únicas soluciones son (x, n) = (5, 4), (11, 5) y (71, 7)”. (*) [Por un problema de visualización, los exponentes de las fórmulas mencionadas aparecen abajo, aunque se posición correcta sea arriba]

A día de hoy nadie ha demostrado que no haya más casos ocultos entre números mayores, y esa incertidumbre mantiene viva la pregunta desde el siglo XIX. El factorial crece con rapidez, porque cada nuevo valor multiplica todos los anteriores, y esa expansión complica cualquier intento de análisis general.

El trabajo explicó cuándo aparecen infinitas soluciones y cuándo la lista es limitada según el sistema elegido

El estudio de Takeda cambia de escenario y deja a un lado los enteros para trabajar con polinomios definidos sobre campos finitos. En ese marco aparece el llamado factorial de Carlitz, que actúa como equivalente del factorial tradicional, aunque aplicado a expresiones algebraicas en lugar de números corrientes.

Al trasladar la igualdad a ese sistema cerrado, la ecuación adquiere una forma paralela que permite aplicar técnicas distintas y ordenar mejor los casos posibles. El resultado no consiste en encontrar un ejemplo llamativo, sino en describir de manera exhaustiva cuándo hay soluciones y cuándo no las hay.

El artículo resume esa clasificación con una frase clara al indicar que “caracterizamos todas las soluciones y demostramos que hay infinitas soluciones si y solo si Fq es una extensión de F4”. Esto implica que el comportamiento depende del tipo de campo finito elegido, porque en algunos aparecen soluciones contadas y en otros surge una cantidad sin límite.

Además, el propio trabajo subraya que la demostración se obtiene “sin utilizar el teorema de Mason-Stothers, análogo a la conjetura abc para enteros”. Ese detalle es relevante porque muestra que el planteamiento no descansa en una herramienta habitual en problemas de este tipo, sino en un camino propio que evita apoyarse en ese teorema.

La consecuencia es que, dentro del universo de los polinomios sobre campos finitos, la cuestión queda completamente analizada. No quedan casos pendientes ni zonas sin clasificar, algo que contrasta con la situación de la versión entera que continúa abierta y tentadora para la teoría de números.

La versión clásica sigue abierta mientras la alternativa ya está completamente ordenada

Aunque el nuevo resultado no cierra el enigma original planteado por Brocard y revisado por Ramanujan, sí reduce el terreno desconocido y delimita mejor qué elementos dependen del contexto aritmético y cuáles responden a una estructura más general.

Esa delimitación ayuda a entender por qué un enunciado que cabe en una línea puede resistir durante más de un siglo. El cambio de marco que ha aplicado Takeda muestra que algunas barreras desaparecen cuando se observa la ecuación desde otro sistema, mientras que otras siguen en pie en el ámbito de los enteros.

El problema de Brocard–Ramanujan continúa abierto en su forma clásica, pero ahora cuenta con una versión paralela completamente resuelta que ofrece nuevas pistas sobre la naturaleza de esa resistencia matemática.