¿Cuántas personas han oído hablar de Pitágoras? Probablemente muchas. ¿Y de Téano? Seguramente bastantes menos. Sin embargo, ambos nombres forman parte de una misma historia: la de las Matemáticas.

Durante siglos, la historia de esta disciplina se ha contado a través de figuras tan conocidas como Euclides, Arquímedes, Descartes, Euler o Gauss. Sus contribuciones son indiscutibles y forman parte del patrimonio científico de la humanidad. Sin embargo, junto a ellos también existieron mujeres que investigaron, enseñaron y realizaron aportaciones fundamentales al desarrollo del pensamiento matemático, aunque sus nombres raramente aparezcan en los libros de texto o en el imaginario colectivo.

Precisamente para contribuir a completar esa historia nace FemSTEAM III: La aventura oculta de las mujeres matemáticas (21-1ACT-26), un proyecto coordinado desde la Universidad de Castilla-La Mancha, y desarrollado por un equipo interuniversitario especializado principalmente en Didáctica de las Matemáticas. La iniciativa, que alcanza ya su tercera edición, busca acercar al alumnado referentes históricos diversos y mostrar una visión más rica y rigurosa del desarrollo de las Matemáticas. Se trata de un proyecto subvencionado por el Instituto de las Mujeres, adscrito al Ministerio de Igualdad.

Pero ¿cómo conseguir que estudiantes de Educación Primaria se interesen por matemáticas que vivieron hace cientos o incluso miles de años?

La respuesta llega en forma de aventura.

La historia comienza en la antigua ciudad griega de Crotona. Un devastador incendio amenaza con destruir conocimientos matemáticos de valor incalculable. Entre las llamas se encuentra Téano, matemática vinculada a la escuela pitagórica, que intenta salvar uno de los legados más importantes de la historia de las Matemáticas: la demostración del teorema de Pitágoras. El tiempo corre en su contra y necesita ayuda urgente.

A partir de ese momento, los estudiantes se convierten en protagonistas de una misión en la que deberán resolver enigmas, descifrar mensajes ocultos, superar desafíos matemáticos y cooperar con sus compañeros y compañeras para evitar que el conocimiento desaparezca para siempre.

Lejos de las clases expositivas tradicionales, el aprendizaje se construye a través del juego, la investigación y la resolución de problemas. Cada prueba superada permite avanzar en la misión y descubrir personajes que han contribuido al desarrollo de las Matemáticas a lo largo de la historia.

Y aquí aparece uno de los aspectos más interesantes de la propuesta.

El objetivo no es presentar una lista de mujeres matemáticas olvidadas ni construir una historia paralela. La intención es contar mejor la historia de las Matemáticas. Por ello, el alumnado conoce tanto a referentes masculinos como femeninos, comprendiendo que el conocimiento matemático ha sido el resultado de una construcción colectiva.

De este modo, figuras como Hipatia de Alejandría, Sophie Germain, Ada Lovelace, Emmy Noether, Florence Nightingale o Vera T. Sós aparecen junto a matemáticos ampliamente conocidos. Las mujeres no se presentan como una excepción o un añadido al relato tradicional, sino como parte integrante de él. Por cada matemática recuperada aparece también un matemático de su época o de su ámbito de trabajo, ayudando al alumnado a construir una visión más equilibrada y completa del desarrollo histórico de la disciplina.

Esta perspectiva resulta especialmente relevante en un momento en que aún persisten estereotipos asociados a las disciplinas científicas y matemáticas. Cuando los estudiantes descubren que las Matemáticas han sido construidas por personas muy diferentes, amplían su comprensión de la propia disciplina y de quién puede contribuir a ella.

Además, la experiencia permite trabajar contenidos curriculares de una forma distinta. Geometría, lógica, estadística, probabilidad, medición o resolución de problemas aparecen integradas en una narrativa común que da sentido a los desafíos planteados. Las Matemáticas dejan de percibirse como una sucesión de procedimientos para convertirse en herramientas que ayudan a resolver situaciones reales dentro de una historia.

Detrás de esta iniciativa se encuentra un equipo interuniversitario formado por profesorado e investigadores de la Universidad de Castilla-La Mancha, la Universidad Autónoma de Madrid y la Universidad de Málaga, con una amplia trayectoria en Didáctica de las Matemáticas, formación del profesorado e innovación educativa. Su trabajo se complementa con la colaboración de docentes de diferentes etapas educativas, asociaciones de mujeres y entidades sociales comprometidas con la igualdad y la divulgación científica.

Una de las fortalezas del proyecto es precisamente su capacidad para conectar universidad y escuela. Las actividades no solo llegan a estudiantes de Educación Primaria y Secundaria, sino que también forman parte de la formación inicial del profesorado. De este modo, las futuras maestras y maestros tienen la oportunidad de vivir la experiencia, analizar posteriormente su potencial didáctico y reflexionar sobre cómo incorporar referentes diversos y metodologías activas en sus futuras aulas.

La acogida obtenida en las ediciones anteriores ha permitido consolidar la iniciativa, que alcanza este año su tercera edición y continúa ampliando su impacto educativo. Cada vez son más los centros y docentes interesados en propuestas capaces de combinar aprendizaje matemático, pensamiento crítico, gamificación e igualdad de oportunidades.

Por ello, FemSTEAM ha abierto una nueva convocatoria dirigida a centros de Educación Primaria interesados en participar en la experiencia durante el presente curso. Los centros pueden consultar toda la información a través del blog oficial.

Quizá la principal aportación de esta iniciativa sea recordar algo aparentemente sencillo: las Matemáticas no tienen una única historia. O, mejor dicho, durante mucho tiempo hemos contado solo una parte de ella.

Porque conocer a Pitágoras es importante. Pero conocer también a Téano, a Hipatia, a Sophie Germain o a Emmy Noether nos permite entender mejor cómo se construye el conocimiento y quiénes han contribuido realmente a él.

Y tal vez baste una hora de juego, unos cuantos enigmas y una misión contrarreloj en la antigua Crotona para descubrir que la historia de las Matemáticas siempre fue mucho más diversa, rica y apasionante de lo que nos habían contado.

Los triángulos rectángulos que dibujaban los escribas del Egipto romano tenían una manía bastante habitual, ya que colocaban casi siempre el ángulo de 90 grados en la esquina inferior izquierda. La base solía tener más espacio que la altura, incluso cuando las medidas indicaban otras proporciones.

En uno de los ejemplos conservados, una figura de siete unidades de base y nueve de altura aparece representada con una anchura cercana al doble de su altura. Aquellos dibujos seguían convenciones gráficas antes que proporciones matemáticas exactas.

Diez documentos permiten reconstruir cuatro siglos de enseñanza

Estas representaciones forman parte de una investigación de Thomas Kelly, especialista en estudios clásicos de la Universidad de Cambridge, que ha elaborado el primer catálogo sistemático de diagramas geométricos conservados en papiros matemáticos griegos.

El trabajo, publicado en la revista Historia Mathematica, establece que los dibujos desempeñaban tres funciones esenciales para los cálculos de los escribas, pues servían como espacio de trabajo, soporte para recordar operaciones y mecanismo para comprobar las soluciones.

El catálogo reúne diez papiros fechados entre los siglos I y IV d.C., procedentes de colecciones dispersas que hasta ahora habían recibido tratamientos editoriales diferentes. Kelly ha reproducido y anotado sus diagramas para estudiar sus características originales.

Destaca P. Math, un códice educativo del siglo IV que contiene 38 problemas y que posiblemente se utilizó para formar a futuros comerciantes. Otro documento, MPER N.S. 1.1, conserva una extensa serie de representaciones geométricas.

Las anotaciones que acompañaban a las figuras permitían conservar resultados necesarios para operaciones posteriores sin depender exclusivamente de la memoria del escriba. En P. Math, un triángulo contiene valores correspondientes a los cuadrados de sus lados, entre ellos el número 225, utilizado en una fase posterior del procedimiento. De esta manera, el papiro funcionaba como una superficie donde podían mantenerse disponibles los cálculos intermedios mientras avanzaba la resolución.

Algunos documentos exigían consultar los dibujos para comprender instrucciones que resultaban incompletas si se leían de forma aislada. En P. Chic. 3, las dimensiones aparecen exclusivamente en las figuras, mientras que P. Bagnall 35 incorpora orientaciones como norte y oeste que necesitan su representación gráfica. Los escribas también acostumbraban a escribir las soluciones sobre los diagramas, de modo que el resultado quedaba asociado a los valores empleados para obtenerlo.

Las matemáticas aplicadas tenían una presencia importante en las actividades administrativas y económicas del Egipto grecorromano, especialmente en la medición de terrenos y capacidades. Los problemas planteaban cantidades determinadas y describían operaciones sucesivas, habitualmente sin desarrollar demostraciones generales.

Un ejercicio relacionado con el asentamiento de Soknopaiou Nesos utiliza un semicírculo, una longitud de cinco esquenios y un diámetro de diez unidades para obtener una superficie de 37,5 aruras mediante una secuencia de operaciones aritméticas.

Esta forma de enseñar procedimientos matemáticos presenta semejanzas con tradiciones anteriores de Egipto y Mesopotamia, cuyos problemas también utilizaban cantidades numéricas específicas. Sin embargo, Kelly identifica en los papiros griegos un empleo sistemático de los diagramas que adquiere importancia dentro de la enseñanza y la resolución de ejercicios.

Kelly reclama preservar los trazados en futuras investigaciones

La conservación de los dibujos originales permite estudiar decisiones gráficas que algunas publicaciones modernas modificaron al preparar sus ilustraciones para la imprenta. En 1932, Gerstinger y Vogel publicaron una representación regularizada de una pirámide del papiro MPER N.S. 1.1, suprimiendo la profundidad sugerida por el dibujo antiguo.

Aquella modificación eliminó información potencialmente útil para interpretar cómo se representaban los cuerpos geométricos. Kelly advierte de que la estandarización editorial puede dificultar el análisis de estas prácticas y considera necesario preservar las características de los trazos originales en futuras investigaciones.

En apenas una década, entre 1926 y 1935, la matemática alemana Grete Hermann (1901-1984) sentó las bases de una nueva rama de las matemáticas y encontró un error decisivo en uno de los pilares teóricos de la física cuántica de su tiempo. Sin embargo, el ascenso del nazismo la obligó a huir de Alemania, y su carrera como científica se truncó para siempre, conduciendo al olvido sus relevantes aportaciones. 

Su historia es un ejemplo de lo que la historiadora Margaret W. Rossiter bautizó como “efecto Matilda”: el modo en que, a lo largo de la historia, el trabajo de las científicas ha sido sistemáticamente atribuido a colegas hombres, minimizado o directamente olvidado. Muchas de las mujeres que, pese a las dificultades burocráticas o culturales, sí lograron formarse, investigar y publicar fueron después eliminadas del relato, como si no hubieran contribuido al desarrollo de su disciplina. Si a esto se le suma el estallido de la Segunda Guerra Mundial y sus consecuencias, el borrado se volvió doble. 

La tesis doctoral de Hermann, defendida en la Universidad de Gotinga (Alemania) y publicada en 1926, se considera el arranque del área de las matemáticas llamada álgebra computacional, una herramienta clave en campos como la criptografía o la robótica. La directora de tesis de Hermann fue Emmy Noether, valorada por sus coetáneos como una de las mayores mentes creativas de la ciencia, quien había desvelado la relación existente entre simetrías y leyes de conservación en física, trazando un puente fundamental entre matemáticas y física. Noether también sentó las bases de lo que hoy se conoce como álgebra abstracta moderna, con su teoría de anillos e ideales que permite abordar de forma unificada estructuras tan distintas como los números enteros, los polinomios o las superficies algebraicas. 

Mientras en el trabajo de Noether en álgebra predominaba un marcado carácter teórico, Hermann se ocupó de desarrollar las herramientas que permitían ejecutar de manera operativa las ideas de su mentora. En concreto, diseñó un procedimiento efectivo para calcular la llamada descomposición en ideales primarios. Se trata de dividir un sistema de ecuaciones complejo en piezas más simples, de manera similar a como se efectúa la descomposición en factores primos de un número. Noether demostró que dicha descomposición existía; Hermann ideó cómo obtenerla en la práctica.

En las primeras décadas del siglo XX no se disponía de ordenadores y nociones como la de algoritmo o complejidad no estaban entre los conceptos manejados por los matemáticos de la época. Pese a ello, Hermann se adelantó casi cuatro décadas al nacimiento del álgebra computacional y lo hizo con un procedimiento que, un siglo después, sigue en uso para resolver sistemas de ecuaciones en ámbitos tan diversos como la robótica, la criptografía o el diseño asistido por ordenador.

Filosofía y cuántica

Hermann poseía también una sólida formación filosófica que, unida a sus conocimientos científicos, fue la clave para sus aportaciones en la mecánica cuántica. Defendía que la causalidad, la idea de que todo efecto tiene una causa, era un principio necesario para entender el mundo de forma científica. Cuando la nueva física cuántica pareció poner en jaque esa noción con su carácter probabilístico, Hermann se propuso averiguar si la causalidad quedaba realmente descartada o si, en su lugar, había que reformularla.

En aquella época se encontraba abierto el debate sobre la posible existencia de variables ocultas de los sistemas cuánticos, que determinarían el resultado de cada medición, aunque no pudiéramos conocerla de antemano, lo que “salvaría” el determinismo clásico. En 1932 el influyente matemático John von Neumann zanjó la cuestión, aparentemente, con su famoso teorema que afirmaba probar matemáticamente que no podían existir estos parámetros ocultos, bajo ninguna circunstancia.

Hermann fue la primera persona en descubrir un error lógico en su razonamiento, en 1935. Señaló que la demostración de von Neumann era circular: asumía de partida aquello que se proponía probar. Pero aquel trabajo fue completamente ignorado. Frente al prestigio académico de von Neumann, la lejanía de Hermann de los círculos de poder de la ciencia oficial, el carácter de “intrusa” en la física (provenía de las matemáticas y la filosofía) y la cuestión de género en un ámbito esencialmente masculino, su refutación permaneció prácticamente olvidada durante décadas. 

En 1952, David Bohm, un físico estadounidense que trabajaba entonces en Brasil, exiliado por la persecución macartista tras negarse a delatar a colegas ante el Comité de Actividades Antiamericanas, encontró un ejemplo que no cumplía el argumento de von Neumann. Formuló una versión completa de la mecánica cuántica con variables ocultas (hoy conocida como teoría de De Broglie-Bohm), que contradecía la supuesta imposibilidad que von Neumann aseguraba haber demostrado.

Su trabajo inspiró a John Bell, físico norirlandés del CERN, quien redescubrió el mismo error que había detectado Hermann tres décadas antes y lo llevó más allá con su influyente desigualdad de Bell. Por aquel argumento, John Bell se hizo famoso. Por entonces Hermann había abandonado la investigación: Noether había fallecido en 1935 y en 1936 Hermann tuvo que abandonar Alemania por su compromiso político contra el nazismo. Se trasladó a Dinamarca y luego al Reino Unido, donde continuó con su labor como activista y pedagoga. Interesada en la docencia y la formación de jóvenes y adultos, tras su regreso a Alemania en 1946 desempeñó tareas de planificación educativa en distintos periodos de su vida.

A corto plazo, el sistema la apartó de la investigación matemática y la ciencia se privó del beneficio de sus aportaciones. Casi un siglo después, estudiosos de distintas disciplinas abordan de manera integral la obra de Hermann. Hoy en día, la diversidad goza cada vez de más presencia en la ciencia y permite que intelectuales como ella puedan ser apropiadamente valoradas.

Ángeles Prieto es profesora de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid

Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática. 

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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Algunos de los mejores matemáticos del mundo están molestos por la actitud de las empresas tecnológicas como OpenAI y el uso de la inteligencia artificial en su campo. Tras el anuncio de esta compañía de la resolución de uno de los ‘Problemas del Milenio’ y la polémica acerca de su forma de actuar, un grupo de 15 galardonados con la prestigiosa Medalla Fields —considerada el “Nobel de las matemáticas”— ha lanzado este viernes un manifiesto en el que invitan a sumarse a otros investigadores. En él, denuncian que “los objetivos de las empresas de IA y los de la comunidad matemática están profundamente desalineados” y que “una amenaza generalizada para el trabajo intelectual”.

Con frecuencia, aseguran, estas soluciones se anuncian apresuradamente, sin dejar tiempo para una redacción adecuada, el aislamiento de nuevos métodos e ideas, ni la citación de trabajos previos relevantes de otros autores. “Como en todas las profesiones creativas, esto plantea serios problemas de atribución y plagio”, señalan. Y piden que se tomen medidas para que, a medida que la IA transforma la forma de trabajar, no perdamos de vista el objetivo original del trabajo matemático.

A continuación, reproducimos el manifiesto íntegro.

Una grave desalineación de la IA en las matemáticas

En los últimos meses, las capacidades matemáticas de los modelos extensos de lenguaje (LLM) han mejorado drásticamente, hasta el punto de poder resolver importantes problemas pendientes en muchos campos de las matemáticas. Sin embargo, el afán de las empresas de IA por resolver problemas matemáticos como referencia resulta perjudicial para la ciencia matemática y para la comunidad matemática. Los objetivos de las empresas de IA y los de la comunidad matemática están profundamente desalineados. Consideramos que esto forma parte de problemas de alineación más amplios que afectan a otras profesiones científicas y creativas, así como a la sociedad en su conjunto.

La investigación matemática se ocupa de comprender las estructuras básicas de las formas, los números y los fenómenos naturales. A lo largo de generaciones, ha desarrollado un amplio corpus de ideas, métodos, abstracciones y otras herramientas sofisticadas para comprender el panorama matemático. A su vez, las tecnologías y ciencias modernas se basan en herramientas matemáticas.

Los problemas más conocidos a menudo han servido como puntos de referencia y faros que permiten medir una mejor comprensión de este campo. Resolver uno de estos problemas ha sido un claro indicio de nuevas perspectivas y métodos interesantes, que posteriormente son estudiados por una comunidad de matemáticos mediante un largo y arduo proceso de conversaciones, debates y simplificaciones. Al final de este proceso, idealmente se encuentra una presentación de los resultados en un libro de texto, accesible para cualquier estudiante de grado o posgrado. Algunas de estas ideas matemáticas perduran aún más, convirtiéndose, décadas o siglos después, en herramientas comprendidas y utilizadas por toda la población.

La comunidad matemática funciona, en muchos sentidos, como una versión en miniatura de la humanidad. Está compuesta por individuos que emplean una amplia variedad de enfoques, unidos por valores fundamentales. Los recursos más valiosos de nuestra profesión son los estudiantes y las ideas, y los cultivamos con sumo cuidado. Nos sentimos responsables de permitirles desarrollar todo su potencial, hasta que puedan tener vida propia en el mundo matemático. A los estudiantes, a menudo les proponemos problemas con la intención principal de desarrollar habilidades que les permitan avanzar en la investigación y en otros ámbitos. Difundimos nuestras ideas mediante charlas, conversaciones privadas y escritos detallados, conectándolas con las ideas previas de otros. Estos procesos, invariablemente, requieren tiempo y se basan en la interacción humana.

En los últimos meses, el éxito de la IA en la resolución de importantes problemas matemáticos ha acaparado titulares incluso fuera del ámbito matemático. Sin embargo, la resolución de problemas es solo una herramienta y un medio para alcanzar el objetivo principal: la comprensión conceptual y la introspección. Olvidar esto en el mundo de la IA podría convertir la herramienta en una herramienta contraria al objetivo principal. De hecho, la producción masiva, cada vez más acelerada, de afirmaciones de “verdadero/falso” podría destruir terreno fértil en lugar de dar vida a nuevas ideas.

Con frecuencia, estas soluciones se anuncian apresuradamente, sin dejar tiempo para una redacción adecuada, el aislamiento de nuevos métodos e ideas, ni la citación de trabajos previos relevantes de otros autores. Como en todas las profesiones creativas, esto plantea serios problemas de atribución y plagio. Además, sin los matemáticos dispuestos a encargarse de su desarrollo e integración en el canon matemático, las ideas concebidas por la IA nunca se materializarían por completo y se perdería la crucial cadena de transmisión humana entre matemáticos.

Estamos presenciando una amenaza generalizada para el trabajo intelectual, con una falta de alineación entre el resultado del uso de la IA y su propósito inicial. En muchos campos y actividades, años de formación han servido tradicionalmente no solo para producir una respuesta o producto final, sino también para desarrollar la comprensión y la capacidad de formular nuevas preguntas e ideas. Sin embargo, basándose en un vasto corpus de trabajo humano previo, los sistemas de IA son cada vez más capaces de producir directamente los resultados de dicho trabajo, y estos objetivos dejan de estar alineados. Los problemas a los que se enfrenta ahora la comunidad matemática son similares a los que afrontan otras profesiones científicas y creativas, e indican problemas a los que podría enfrentarse toda la humanidad: cómo asegurarnos de que, a medida que la IA transforma la forma de trabajar, no perdamos de vista el objetivo original de ese trabajo.

La IA ofrece el potencial de mejorar y acelerar el estudio y la comprensión de las matemáticas. La matemática como profesión deberá adaptarse a estos cambios de diversas maneras. Sin embargo, el hecho de que estos cambios beneficien al campo o tengan un efecto perjudicial dependerá en gran medida de las decisiones de quienes controlen esta nueva tecnología.

Es necesario abordar con urgencia estas cuestiones, tanto en la comunidad matemática como por parte de las empresas que desarrollan estas tecnologías y, de forma más general, por una sociedad que se enfrentará a problemas similares en muchas otras formas de trabajo intelectual.

FIRMAS:

Artur Avila (Medalla Fields 2014)

Manjul Bhargava (Medalla Fields 2014)

Caucher Birkar (Medalla Fields 2018)

Pierre Deligne (Medalla Fields 1978)

Yu Deng (Medalla Fields 2026)

Simon Donaldson (Medalla Fields 1986)

Hugo Duminil-Copin (Medalla Fields 2022)

Alessio Figalli (Medalla Fields 2018)

Martin Hairer (Medalla Fields 2014)

June Huh (Medalla Fields 2022)

Maxim Kontsevich (Medalla Fields 1998)

Elon Lindenstrauss (Medalla Fields 2010)

Pierre-Louis Lions (Medalla Fields 1994)

James Maynard (Medalla Fields 2022)

Curtis McMullen (Medalla Fields 1998)

Shigefumi Mori (Medalla Fields 1990)

Ngô Bảo Châu (Medalla Fields 2010)

Andrei Okounkov (Medalla Fields 2006)

Peter Scholze (Medalla Fields 2018)

Stanislav Smirnov (Medalla Fields 2010)

Terence Tao (Medalla Fields 2006)

Maryna Viazovska (Medalla Fields 2022)

Cédric Villani (Medalla Fields 2010)

Wendelin Werner (Medalla Fields 2006)

Efim Zelmanov (Medalla Fields 1994)

La velocidad a la que las compañías de inteligencia artificial (IA) están resolviendo algunos de los problemas más difíciles de las matemáticas produce asombro y preocupación al mismo tiempo. El anuncio de OpenAI de que ha encontrado una solución al problema de Navier-Stokes, uno de los seis 'Problemas del Milenio', ha disparado el nerviosismo y los rumores entre la comunidad matemática. En redes se habla de que la misma empresa y su competidor, Anthropic, están a punto de resolver otros retos. Como precedente, en mayo, un chatbot de OpenAI refutó una conjetura de hace 80 años del matemático húngaro Paul Erdős.

Todas estas hazañas, incluida la de Navier-Stokes, están pendientes de verificación. La última vez —y por ahora la única— que se resolvió uno de los 'Problemas del Milenio', lo logró un ser humano al que rodea un halo de genialidad. Entre 2002 y 2003, el matemático ruso Grigori Perelman demostró la Conjetura de Poincaré, tras trabajar durante años en la más estricta soledad. En contraste, OpenAI desplegó 10.000 agentes de inteligencia artificial que intercambiaron 2,7 millones de mensajes. Solo necesitó 88 horas, pero gastó varios millones de dólares.

Perelman renunció a la Medalla Fields y el suculento premio en metálico del Instituto Clay porque prefería atribuir el mérito a sus predecesores; la compañía tecnológica, en cambio, precipitó sus resultados para adelantarse e invisibilizar el trabajo de la competencia y de los dos matemáticos españoles que llevaban tiempo avanzando en el problema.

“Yo tengo a Luis”

“Nosotros no usamos IA; lo nuestro es lápiz y papel”, confesaba en la noche del martes el matemático español Diego Córdoba (ICMAT) a elDiario.es. Él y su colaborador, Luis Martínez-Zoroa (CUNEF), siguen la vieja escuela de Perelman del trabajo a mano, pero son conscientes de que son una rareza en su disciplina y de que el mundo ha cambiado en los últimos tres años. “Cuando me preguntan: Tú que trabajas compitiendo con los de ChatGPT, con OpenAI, con Claude, ¿qué tienes? Yo les digo: yo tengo a Luis”, bromea.

Ante el escándalo de este ninguneo, OpenAI introdujo una referencia, a posteriori, a los trabajos de los españoles en sus resultados, pero su anuncio no ha disparado las alarmas por este gesto ni porque las máquinas hayan superado a los humanos, como en el mítico duelo Kaspárov-Deep Blue. El verdadero problema es que las compañías han entrado en una carrera en la que todo vale y con posibles efectos perniciosos: se pusieron a trabajar a toda velocidad cuando supieron que la competencia estaba cerca de solucionar el problema y existe la sospecha de que usaron la información que el otro equipo de matemáticos introdujo en su herramienta de IA para avanzar.

Terence Tao, uno de esos seres humanos excepcionales capaces de romper las barreras de las matemáticas, lo expresaba esta semana con gran claridad en New Scientist: “Así no es como se supone que debe funcionar la ciencia”.

El matemático Terence Tao, ganador de la Medalla Fields, lo expresaba con gran claridad: “Así no es como se supone que debe funcionar la ciencia”

Para Tao, la forma en que se anuncian estos hallazgos y se “vuelcan” sobre la comunidad matemática podría perjudicar a este campo. En su opinión, se trata de una carrera que no beneficia a nadie (excepto a los departamentos de marketing de las empresas de IA), y produce un atasco, ya que no hay tiempo para absorber los resultados, comprenderlos plenamente y enseñarlos a los estudiantes. “Estas empresas están tirando pilas de carne cruda sobre la mesa de nuestra aldea diciendo: 'Aquí tienen, he resuelto su problema de comida'. Y luego simplemente se van”, dice Tao.

El mayor problema de la voracidad de las IA, donde todos los matemáticos y científicos de otros campos están introduciendo sus resultados, no es que la autoría se difumine —saber quién es el descubridor o a quién atribuir el mérito— sino el de quebrar la confianza. Si se extiende la práctica que hemos visto con Navier-Stokes, los matemáticos no harán públicos sus resultados, por miedo a que otros los metan en la máquina y acaben su trabajo con algoritmos más potentes. Esto, advierte Tao, pondrá en peligro la cultura abierta y colaborativa y empujará la investigación a la clandestinidad. “Saber que alguien está trabajando en un problema es ahora información valiosa”, afirma.

Si se extiende la práctica, los matemáticos no harán públicos sus resultados, por miedo a que otros los metan en la máquina y acaben su trabajo con algoritmos más potentes

Terence Tao y otros 24 ganadores de la medalla Fields han lanzado este mismo viernes un manifiesto en el que reclaman que el uso de la IA preserve la comprensión humana y la trasparencia en la investigación en matemáticas. Antes, la Declaración de Leiden, publicada el 2 de junio de 2026 y respaldada por la Unión Matemática Internacional (IMU), alertaba de posibles problemas con la IA, como la pérdida de atribución a los autores originales y la creciente influencia de las grandes tecnológicas sobre las agendas de investigación. Y recalcaba que el objetivo de las matemáticas no es solo producir teoremas, sino “generar comprensión humana”.

Un artículo editorial de PLOS Biology, firmado por Renee Hoch y Joanna Clarke en junio de 2025, advertía de que utilizar IA generativa para propuestas, manuscritos, etc. puede comprometer la confidencialidad y la propiedad intelectual. “Con cualquier dato que compartas en una cuenta personal, puedes suponer que se puede usar para entrenar nuevos sistemas”, decía Aneesh Muppidi, investigador de IA en la Universidad de Stanford en The New York Times. Pero esta circunstancia es temporal. “Esto será un problema durante los próximos seis meses o un año”, apunta con sorna Sanjeev Arora, de la Universidad de Princeton. “Después de eso, la competencia humana tal vez ya no merezca ni siquiera ser considerada”.

El gran supervisor 

La convulsión que ha producido la irrupción de estas voraces inteligencias artificiales se ha extendido al resto de la ciencia. Un estudio reciente, con participación de los expertos en políticas públicas de la Comisión Europea, se planteaba cómo la IA amenaza “los cimientos mismos de la comprensión científica” y está poniendo en cuestión lo que significa “ser científico”. Esta tecnología todopoderosa podría rescatar a la ciencia del estancamiento de la productividad de las últimas décadas, pero también implica el riesgo de limitar el progreso científico, advierten.

Además del uso fraudulento, para alimentar granjas de papers o plagiar el trabajo de otros, la IA se ha hecho presente en todas las fases del proceso: desde la formulación de hipótesis hasta la publicación y revisión. A nivel individual, incrementa la productividad de los científicos frente a quienes siguen con los viejos métodos. Aquellos que la utilizan, según un reciente estudio en la revista Nature, publican tres veces más artículos, reciben casi cinco veces más citas y se convierten en líderes de proyectos de investigación 1,37 años antes. Como contrapartida, la adopción de la IA reduce el volumen colectivo de temas científicos estudiados y estrecha el foco de los investigadores produciendo una paradoja: “Una expansión del impacto de los científicos individuales, pero una contracción en el alcance de la ciencia colectiva”.

En un análisis publicado esta semana por Science Media Center, Lluis Montoliu, experto en bioética del Centro Nacional de Biotecnología (CNB-CSIC), ponía el acento en el peligro de que la IA se convierta en el gran supervisor de la producción científica. “Más de la mitad de las evaluaciones de papers no han sido realizadas por personas, sino por sistemas de IA”, advierte. Esto puede producir un sesgo sistemático, puesto que la IA es peor generando ideas realmente disruptivas y penaliza propuestas innovadoras. Esto podría llevar a que artículos como el desarrollo de la técnica CRISPR, que valió el Nobel de Química a Jennifer Doudna y Emmanuelle Charpentier, “habría sido bloqueado por una IA al ser demasiado disruptivo e inesperado”, señala.

“La automatización de la investigación podría producir eficiencias a corto plazo en términos de resultados a costa de un colapso a largo plazo, debido a que los investigadores dejarían de ser capaces de impulsar la producción de conocimiento más allá de las nuevas fronteras”, escribe Henrik Skaug Sætra en otro artículo. Akhil Bhardwaj, investigador de la Universidad de Bath, identifica el peligro de externalizar la lógica del descubrimiento y dejarlo en manos de la IA y apunta a uno de los problemas: hemos idealizado los momentos “eureka” y el uso de la IA para producir hipótesis y teorías amenaza con robar parte de este “romanticismo” a la ciencia. ¿Nos produciría el mismo placer si supiéramos que ese momento en que se enciende la bombilla lo protagonizara una IA generativa?, se plantea.

A pesar de las demostraciones de la IA, algo parece resistirse en la comunidad científica a aceptar que podría ser tan genial o más que las grandes figuras de la ciencia. El científico y divulgador Philip Ball revisaba hace unos días en Nature algunos de los experimentos recientes con modelos de lenguaje “históricos” creados para comprobar si la IA sería capaz de redescubrir la teoría de la relatividad general de Einstein si se le diera la misma información que este manejaba en su época. Y muchos expertos, como el investigador Tom Zahavy, creen que a la máquina le falta un paso, porque se basa en el razonamiento inductivo —la acumulación y promediado estadístico de datos—, y no en el salto creativo que inventa una causa totalmente nueva a partir de anomalías o datos escasos. Seguimos empeñados en adorar a nuestros Perelman de lápiz y papel, pero ¿de verdad estamos seguros de que la siguiente generación de máquinas no será capaz de dar estos saltos?

¿Hacia un agujero negro?

En el horizonte está la posibilidad verdaderamente aterradora que apuntaba Arora, de que la IA se ponga a hacer ciencia por su cuenta y ya no nos necesite en absoluto. “En un futuro no muy lejano podría surgir una tercera etapa, en la que sistemas de IA autónomos lleven a cabo sus propias investigaciones y generen conocimiento sin supervisión ni control humanos”, señalan David B. Resnik, Mohammad Hosseini y Rico Hauswald en otro artículo reciente. Esto lleva a otro escenario que algunos han bautizado como el problema de la “caja negra”: la investigación generada por IA puede quedar más allá de la comprensión humana y que no sepamos las causas últimas de los resultados. 

“¿Qué conocimiento tiene un sistema de diagnóstico que a partir de un montón de datos da un resultado, pero que no podemos decodificar en qué se ha basado realmente?”, se pregunta Joaquín Sevilla, físico y catedrático de la Universidad Pública de Navarra (UPNA), experto en el sistema de publicaciones. “Las redes neuronales producen resultados prácticos espectaculares a veces, pero sin ninguna metacognición: no sabe cómo lo sabe. Es imposible desempaquetar el conocimiento que pone en práctica para generar sus resultados en un formato que suponga significado para los seres humanos”. 

En las próximas semanas o meses, cientos de matemáticos tendrán que dedicar un esfuerzo monumental para desentrañar y auditar la farragosa propuesta de solución de OpenAI al problema de Navier-Stokes, intentando traducir la densa lógica con la que operan las máquinas al lenguaje de la razón humana. Tal vez llegue el día que sepamos qué es correcto pero se nos escapen los motivos. Si la inteligencia artificial produce diagnósticos o teoremas impecables, pero no puede explicarnos cómo ha llegado a ellos, la ciencia corre el riesgo de adentrarse en un peligroso agujero negro del conocimiento: un escenario donde habremos perdido para siempre la capacidad humana de entender por qué suceden las cosas.

El mundo de las matemáticas acaba de sufrir una conmoción. La compañía tecnológica OpenAI ha anunciado este martes que uno de sus modelos de inteligencia artificial (IA) ha encontrado una solución al problema de Navier-Stokes, uno de los seis Problemas del Milenio por cuya solución el Instituto Clay ofrece un millón de dólares. Pero en las últimas horas hemos conocido que la historia esconde una guerra entre compañías tecnológicas, amenazas y la sospecha de que el hallazgo se puede haber basado en los trabajos con papel y lápiz, durante casi una década, de dos matemáticos españoles.

Según OpenAI, un descomunal sistema de 10.000 agentes de inteligencia artificial coordinados y su modelo GPT-6 Astra, la compañía generó en solo 88 horas una demostración analítica de 100 páginas con la solución. Todo un hito para la ciencia, puesto que las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas en el siglo XIX, describen cómo se mueven fluidos como el agua y el aire y se utilizan, entre otras cosas, para diseñar aviones, predecir el tiempo y estudiar el flujo de la sangre.

Pero el matemático Tristan Buckmaster (de la Universidad de Nueva York) ha revelado que él y Levent Alpöge (investigador de Anthropic, principal rival de OpenAI) estaban trabajando en la solución y habían logrado ya un paso previo gracias a una estrategia pionera de los matemáticos españoles Diego Córdoba (del ICMAT) y Luis Martínez-Zoroa (profesor en la Universidad CUNEF). Según su versión, OpenAI abordó a toda prisa la demostración tras descubrir sus trabajos para adelantarse a su rival (Anthropic), y le ofreció sumarse a su bando. Y lo más grave: sospecha que pudo tener acceso a su trabajo para llegar a la solución.

Amenazas y sospechas

“Utilizamos varios LLM a lo largo de todo el proceso: Claude de Anthropic, Codex de OpenAI, especialmente con GPT-5.6 Sol y, más recientemente, Astra”, explica Buckmaster en un comunicado (ver PDF). El jueves 3 de septiembre le avisaron de que se había transmitido información sobre sus progresos a OpenAI y se puso en contacto con ellos. Horas después estos le informaron de que habían producido una demostración. Y le llamó la atención que —aunque no los mencionaban— estaba basada en la aproximación de los dos matemáticos españoles, algo que solo estaba haciendo él. “Prácticamente nadie más que yo conozca estaba trabajando en él”, señala. “Cuando escuché ‘forzado’, fue una señal de alerta absoluta”.

Aunque le dijeron que el modelo de OpenAI no consultaba datos de usuarios, las sospechas de Buckmaster continuaron porque la tecnológica le planteó maniobras poco éticas. Le ofrecieron presentar la solución de Navier-Stokes exigiendo apartar a su colaborador Levent Alpöge de la autoría, dado que este trabaja para Anthropic, su gran competidor. Para convencer a Buckmaster, le prometieron encumbrarle públicamente como el “humano más cercano al problema” y respaldarle para ganar el millón de dólares del Premio Clay. Y, cuando el matemático rechazó el trato y advirtió que denunciaría lo ocurrido, la actitud de la compañía subió de tono con veladas amenazas hacia su futuro académico, preguntándole abiertamente por qué iba a “arruinar su carrera” y advirtiéndole de que, si hablaba, no tendrían por qué “ser amables” con él.

En una rueda de prensa el martes, y en un comunicado, el matemático de OpenAI, Sebastien Bubeck, desmintió estas afirmaciones y aseguró que el modelo interno de OpenAI había resuelto el problema de forma independiente, aunque reconocen que se pusieron a resolverlo ante las noticias de que su rival estaba en ello. “Nuestro esfuerzo comenzó el 1 de septiembre tras escuchar un rumor que, posteriormente, supimos que estaba relacionado con Levent Alpöge, empleado de Anthropic, y Tristan Buckmaster”, dice el comunicado. Pero añaden que “ni los investigadores ni los agentes tuvimos acceso a su trabajo hasta que lo publicaron; en particular, no se accedió a datos específicos de los usuarios para resolver este problema”.

Con lápiz y papel

El español Diego Córdoba no quiere entrar en la polémica, aunque hay elementos que le extrañan. “Luis y yo llevamos un trabajo de 5 o 6 años y hemos desarrollado una estrategia nueva en la que necesitamos la fuerza; nadie había necesitado la fuerza antes”, explica a elDiario.es. “Por supuesto, Tristan usa la fuerza y explica que es parte de nuestra estrategia. Y, sorprendentemente, OpenAI también usa la fuerza, por lo que Tristan piensa que le han cogido o robado parte de su trabajo”.

El matemático español lleva toda su vida tratando de hallar la solución al modelo de singularidades. Hizo la tesis en la Universidad de Princeton con Charles Fefferman, que tiene la medalla Fields, con un modelo con singularidades. “Y mi tesis consistió en probar que lo que el ordenador decía era falso”, confiesa. “Mi primera tesis fue contradecir un ordenador”, repite. Una situación que le aparece particularmente irónica, dado que, 30 años después, son los ordenadores los que parten de sus trabajos para encontrar la solución.

Cuando me preguntan: Tú que trabajas compitiendo con los de ChatGPT, con OpenAI, con Claude, ¿tú qué tienes? Yo les digo: Yo tengo a Luis

Diego Córdoba — Matemático del ICMAT

Para entender este reto, hay que partir de que el problema de las singularidades es sencillamente el intento de predecir el instante exacto en que un flujo suave de un fluido rompe sus propias reglas, como cuando en un día tranquilo surge de golpe un tornado. Resolver esto es como abrir una matrioska por capas: primero se probó que los colapsos nunca ocurren en dos dimensiones.

Córdoba y su estudiante de tesis, Martínez-Zoroa, estaban en la siguiente capa, resolver las ecuaciones de Euler en 3D, que analizan fluidos ideales “sin viscosidad” (sin rozamiento). Lo que ha atacado OpenAI son las ecuaciones de Navier-Stokes, que sí añaden la viscosidad del mundo real, la condición del ansiado Problema del Milenio. Pero en el mundillo matemático muchos creen que la IA no habría llegado hasta ahí sin el trabajo previo de los dos españoles.

“Ahora que lo han publicado, hay que ver cómo es esa construcción”, dice Diego Córdoba. “Si es la misma estrategia que la nuestra, entonces no les van a dar todo el crédito a ellos; si la estrategia es completamente nueva y no tiene que ver con la nuestra, entonces sí se llevarán todo el mérito”. Muchos de sus colegas, informa, les están escribiendo para decirle que deberán dividir el premio con ellos, puesto que han sido imprescindibles en su resolución.

Charles Fefferman, que además de su mentor es quien escribió la descripción oficial del Instituto Clay del problema de Navier-Stokes cree que los protagonistas de esta historia son Córdoba y Martínez-Zoroa. Y Buckmaster lo dice en su comunicado: “en vista de este trabajo, creo que Luis Martínez-Zoroa merece la Medalla Fields”. “Nosotros no usamos IA; lo nuestro es lápiz y papel”, asegura Córdoba. “Cuando me preguntan: Tú que trabajas compitiendo con los de ChatGPT, con OpenAI, con Claude, ¿tú qué tienes? Yo les digo: Yo tengo a Luis”.

Una nueva forma de hacer matemáticas

Alberto Márquez, matemático de la Universidad de Sevilla, recuerda que el problema del milenio no es resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, sino las singularidades. “Lo que dice es: suponiendo que entra un flujo organizado, bien constante, bien dirigido, ¿bajo qué condiciones se puede asegurar que va a seguir saliendo organizado o cuándo va a ser caótico?”, explica. A su juicio, el problema gordo y donde va a estar toda la discusión es la autoría. “¿Quién lo ha resuelto? ¿Los de los resultados en los que se basaron, el que diseñó la IA, el que la programó, o los otros que tuvieron la idea?”.

Para el físico y divulgador Enrique Borja, el resultado es “fabuloso”, no solo porque resuelve un problema del milenio, sino por lo que implica del uso de la IA en investigación avanzada en matemáticas y en física. “Habrá que comprobar que todo esté bien hecho, no creo que se la hayan jugado robándole los prompts a nadie”, comenta. “Lo importante es que tenemos que normalizar el uso de la inteligencia artificial en la investigación fuerte en matemáticas, en física y en cualquier rama del conocimiento”.

El físico y meteorólogo José Miguel Viñas, de Meteored, cree, en cambio, que hay que incidir en el intelecto humano como el factor clave de los logros que en este y otros campos que está haciendo la IA. “Se podría transmitir la idea errónea de que la IA ha resuelto un problema complejo que no han sido capaces de resolver los humanos, pero eso es falso”, opina. “Sin las investigaciones teóricas de los matemáticos y sus aportaciones (ya veremos en qué queda la historia de la sustracción) la IA no tiene nada que hacer”.

Aunque trabaja con lápiz y papel, el español Diego Córdoba es muy consciente de que la inteligencia artificial está cambiando la manera de trabajar en matemáticas. “Lo estamos viendo y cambia semana a semana”, asegura. Sobre la posibilidad de que le reconozcan con el premio por resolver el problema del milenio, se muestra cauteloso. “Un millón de dólares ya no es como antes”, bromea. “Si quieres hacerte rico, te recomiendo que busques otras maneras”.

Extremadura se sitúa por debajo de la media española, de la Unión Europea y de la OCDE en competencias científicas y matemáticas, según los resultados del informe PISA 2025, publicado este martes. En lectura, sin embargo, el alumnado extremeño obtiene la misma puntuación que la media del conjunto de España.

En ciencias, Extremadura alcanza los 473 puntos, frente a los 477 de España, los 481 de la Unión Europea y los 482 de la OCDE. Con este resultado, la comunidad ocupa la novena posición entre las comunidades y ciudades autónomas españolas.

La diferencia es algo mayor en matemáticas. Extremadura obtiene 454 puntos, tres menos que la media española, situada en 457, y nueve por debajo de los promedios de la Unión Europea y la OCDE, ambos en 463 puntos. En esta competencia, la región ocupa el undécimo puesto del ranking autonómico.

En lectura, Extremadura alcanza los 451 puntos, la misma puntuación que la media española, aunque por debajo de los 459 de la Unión Europea y los 461 de la OCDE. La comunidad ocupa también la novena posición entre los territorios españoles.

España pierde terreno en lectura y matemáticas

Los resultados de Extremadura se conocen en un contexto de retroceso general del rendimiento educativo en España. Las pruebas realizadas a unos 30.000 alumnos de 15 y 16 años reflejan una caída considerable en las competencias lectora y matemática durante la última década, de hasta 26 y 28 puntos, respectivamente.

Según los responsables del informe, este descenso equivale a más de un curso escolar perdido. El retroceso también se ha registrado en otros países europeos como Portugal, Francia y Alemania.

El analista senior de la OCDE y responsable de la coordinación del estudio PISA, Tue Halgreen, ha alertado de las dificultades crecientes de los estudiantes para comprender textos largos y ha señalado que realizan una lectura cada vez más apresurada. “Es un desafío global”, ha advertido.

El secretario de Estado de Educación, Abelardo de la Rosa, ha reconocido que los resultados españoles tampoco son buenos en ciencias y ha asegurado que el Gobierno analizará los datos.

La mitad del alumnado español tiene un nivel bajo en ciencias

Las ciencias han sido la competencia principal analizada en esta edición de PISA. En el conjunto de España, el rendimiento medio se sitúa en 477 puntos, por debajo de la media de la OCDE (482) y de la Unión Europea (481).

Además, España ha perdido 16 puntos en competencia científica desde 2015.

El informe señala que la mitad del alumnado español de 15 y 16 años presenta un nivel bajo en ciencias. Solo el 28% alcanza el nivel mínimo de competencia, mientras que el 16% se sitúa en un nivel medio y apenas el 5% alcanza los niveles considerados excelentes.

España queda por detrás de países como Reino Unido, Estados Unidos, Irlanda, Polonia, Bélgica, Alemania o Eslovenia. Japón y Estonia encabezan los resultados internacionales en ciencias, con 538 y 527 puntos, respectivamente.

Madrid y Castilla y León, entre las comunidades con mejores resultados

Los resultados muestran importantes diferencias entre comunidades autónomas. Madrid obtiene la mayor puntuación en ciencias, con 495 puntos, seguida de Castilla y León (493), Asturias (492) y Cantabria (490). También superan la media de la OCDE y de la Unión Europea Galicia (486), Castilla-La Mancha (485) y La Rioja (484).

En el extremo contrario se encuentran Melilla (405) y Ceuta (420), seguidas de la Comunidad Valenciana (450), País Vasco (459), Andalucía (462), Canarias (469), Murcia (470), Baleares (471), Navarra (472) y Extremadura (473).

Asturias, La Rioja, Castilla y León y Madrid son además las comunidades con una mayor proporción de alumnado que alcanza niveles excelentes en ciencias.

El informe alerta sobre las diferencias y el impacto de las pantallas

El informe PISA 2025 apunta también a la influencia de factores socioeconómicos en el rendimiento. En España, la competencia lectora ha empeorado especialmente entre los jóvenes procedentes de entornos socioeconómicos bajos y medio-bajos durante los últimos tres años, mientras que en matemáticas también se ha registrado un retroceso entre el alumnado de nivel socioeconómico más alto.

La OCDE señala asimismo el impacto de las pantallas y de los cambios en los hábitos de aprendizaje sobre el rendimiento académico, especialmente en lectura.

El secretario de Estado de Educación ha descartado que el empeoramiento de los resultados pueda atribuirse a la implantación de la LOMLOE y ha apuntado a un contexto educativo marcado por una mayor diversidad y por los desafíos derivados de la transformación digital.

La OCDE también ha advertido de problemas de comparabilidad en los resultados de Cataluña, donde la tasa de exclusión del alumnado participante alcanzó el 23%. Murcia y Baleares presentan igualmente tasas de exclusión del 13% y el 7,5%, respectivamente, por lo que sus resultados deben interpretarse con precaución ante el posible riesgo de sesgo.

Ya lo avanzó Emiliano García-Page: Castilla-La Mancha iba a salir “muy bien parada” en el último informe PISA, la principal prueba de desempeño educativo del mundo, elaborada por la OCDE. Y así lo reflejan los datos correspondientes a 2025. Esta comunidad autónoma es la única que mejora, frente a un desplome generalizado en todo el país marcado por las “dificultades” del alumnado con textos de más de 400 palabras por culpa de las pantallas.

El informe, de hecho, es demoledor. Todas las comunidades autónomas bajan en sus niveles educativos menos Castilla-La Mancha, que sube hasta 10 puntos en materias como Ciencias, marcando un nivel de 486, el más alto, lo que supone 10 puntos más que en el último estudio.

La cuestión es más relevante aún porque esta comunidad autónoma se encontraba en las últimas posiciones y debido a la debacle generalizada, ahora está entre las seis mejor situadas del país.

En el resto de materias analizadas, esta región marca además otros dos datos históricos: un 454 en Lectura y un 466 en Matemáticas, en ambos casos también por encima de la media nacional:

Page atribuye la gran escalada de Castilla-La Mancha a 10 años de “inversiones educativas continuadas” que han permitido destinar, según ha afirmado, un 80 por ciento más por alumno, que en el año 2015. Según ha recalcado, el sistema educativo “no es una competencia más”, sino que es “lo que realmente puede cambiar las cosas y remover por completo los obstáculos sociales”.

En este sentido, ha razonado que en España “nadie se queda sin prestación educativa por la escasez del bolsillo de sus padres”, algo que “no se puede decir en muchos sitios en el mundo”.

Ha valorado asimismo, el hecho de haber “doblado” la plantilla de profesionales dedicados a la atención especializada para todos los chicos y chicas que requieren una atención de este tipo, antes de incidir en que la ciudadanía “tiene que valorar a qué van dedicados sus impuestos” ya que, según ha precisado, el 90 por ciento del presupuesto de Castilla-La Mancha se destina a sanidad, educación y servicios sociales.

Con carácter general, el análisis de los datos de PISA muestra que las comunidades autónomas que mejor rinden siguen siendo las del norte (Madrid, Asturias, Cantabria y Castilla y León copan las tres primeras plazas en las tres categorías), aunque todas estas han empeorado su rendimiento, y las más flojas son las del sur (Ceuta, Melilla, Andalucía y Canarias), que sin embargo se mantienen en puntuaciones similares a las de la anterior edición.

Valoraciones del Gobierno regional y sindicatos

El consejero de Educación, Cultura y Deportes, Amador Pastor, ha celebrado estos datos, añadiendo que Castilla-La Mancha es la comunidad autónoma en la que el alumnado tiene una mejor valoración de su profesorado y presenta “el mejor clima escolar y el menor índice de acoso escolar entre las comunidades autónomas españolas”.

Aunque ha admitido que “queda mucho por hacer y queda mucho por trabajar”, ha querido poner de relieve que, por primera vez, Castilla-La Mancha se sitúa en unas posiciones “muy destacadas” en una evaluación PISA que, ha reconocido, a lo largo de estos años ha sido objeto de debate y de crítica hacia el sistema educativo de esta comunidad autónoma.

Para Fernando Villalba, representante del STE en Castilla-La Mancha, los resultados de Castilla-La Mancha son positivos en comparación con la media española, pero “no pueden llevarnos al conformismo. PISA debe servir para analizar qué está funcionando, pero también para detectar las dificultades que siguen presentes y garantizar a los centros los recursos necesarios para atenderlas”.

Por su parte, el presidente de CSIF-Educación Castilla-La Mancha, Juan Luis Martínez, argumenta que la comunidad autónoma estaba “muy mal” en el informe de 2022 y así sigue estándolo. “Lo que ocurre es que el descalabro ha sido tan grande en el conjunto de España que mediáticamente parece que Castilla-La Mancha ha salido bien parada, como si la región aguantara mejor que muchas otras cuando la realidad es que estábamos tan hundidos en 2022 que cualquier avance hay que tomarlo como positivo”, interpreta.

A ello añade que una mejora puntual en Ciencias no puede utilizarse para “ocultar los problemas estructurales”, ya que no se trata de quedar mejor o peor en un ranking, sino de “garantizar que todos nuestros alumnos adquieran las competencias necesarias para afrontar su futuro”.

España, como la mayoría de países, sufre una caída notable en la edición de PISA 2025 y confirma una tendencia a la baja que es global. Pero si en la anterior edición, hace tres años, España caía menos que el resto, de manera que se acercaba en términos relativos a las medias europeas y de la OCDE, esta vez sucede lo contrario y la brecha se amplía.

Los resultados en Ciencias, la materia principal de este año, vuelven a caer tras un ligero repunte. Es la materia en la que más cerca está España de sus vecinos y países de referencia, aunque sigue quedando por debajo de las medias.

Como se puede observar en el siguiente gráfico, la caída supera los diez puntos en las tres categorías que incluye PISA (Ciencias, Lectura y Matemáticas). Desde 2018, España ha perdido cerca de 50 puntos en Lectura, la competencia clave que permite abordar todas las demás con más garantías. La OCDE, organizadora de la prueba, explica que un curso académico completo equivale a 20 puntos.

PISA 2025 (el año que se realizaron las pruebas a los escolares de 15 años, 4º de la ESO) también evalúa a las comunidades autónomas por separado. El orden de las mismas se mantiene relativamente estable, claramente marcado por el nivel socioeconómico de las regiones. Pero todas las ediciones hay alguna sorpresa y si en la anterior Catalunya se dio un batacazo (y este ha sido excluida de las pruebas por problemas con la muestra de alumnado), este es Euskadi la que cae con estrépito en todas las categorías.

Además, en esta edición las comunidades con mejor rendimiento habitual (Madrid, Asturias, Cantabria, Castilla y León) han empeorado sus resultados, mientras las que lo hacen algo peor (Andalucía, Canarias, Ceuta y Melilla) se han mantenido relativamente estables. Así rindieron las comunidades en PISA 2022.

La OCDE ha explicado que cree que el problema son las pantallas, que han cambiado la manera en que los jóvenes leen, sobre todo debido a las redes sociales, y que eso ha aniquilado su capacidad de atención y de procesar textos relativamente complejos. El analista de la organización Hue Halgreen explicó ayer que a partir de 400 palabras el alumnado tiene “dificultades” con un escrito.

Pero la riqueza de PISA, una prueba que importa más a los expertos y analistas que al profesorado, no se limita a los resultados gruesos. La prueba ofrece cantidades ingentes de información en varios aspectos educativos clave para entender qué falla en un sistema educativo, como el rendimiento por género, la equidad entre el estudiantado o, este curso, la Inteligencia Artificial (IA), que usan la mayoría de los estudiantes pese a que correlaciona con un peor rendimiento.

El análisis del rendimiento en función del género ofrece menos sorpresas. Como es habitual, ellas tienen ventaja en todo menos en Matemáticas, un fenómeno conocido.

Una de las fortalezas del sistema educativo español está en su equidad, aunque a la vez puede interpretarse como un problema. ¿Qué quiere decir esto? En España el rendimiento del alumnado más favorecido socioeconómicamente y menos es más pequeña que en la mayoría de los países, lo que implica que la escuela corrige algunas de las diferencias de origen entre estudiantes. La parte no tan positiva es que lo hace “a la baja”: España tiene poco alumnado excelente.

La otra cara de esta moneda se observa cuando se analiza el rendimiento del alumnado por el tipo de centro en el que estudia, que es otra manera de clasificarlo por renta. Más allá del tratamiento que hacen los centros privados de su alumnado, la estadística muestra cómo en estos colegios los estudiantes, aventajados, repiten sensiblemente menos que en los públicos. Este gráfico permite ver, por otra parte, lo que ha pasado con Catalunya, que excluyó de la prueba al alumnado que peor rinde (y que, como efecto secundario, es la única comunidad en la que apenas hay diferencia en los repetidores entre la escuela pública y la privada).

¿Cómo se puede medir una costa, la distribución de las ramas de un árbol o la estructura de un sistema de ríos cuando las formas que los componen son demasiado irregulares para las herramientas de la geometría tradicional? Un trabajo en el que participa la investigadora del Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón (I3A) de la Universidad de Zaragoza Elvira Mayordomo propone una nueva vía para abordar este tipo de problemas a partir de la teoría de la información.

El estudio acaba de recibir el premio al Mejor Artículo Científico en el Simposio Internacional sobre Fundamentos Matemáticos de la Informática (MFCS 2026), celebrado en París, un reconocimiento que distingue un trabajo que plantea una nueva herramienta para estudiar la información que contienen determinadas figuras geométricas y que puede abrir nuevas vías para resolver problemas matemáticos que llevan décadas abiertos.

La geometría tradicional permite describir y medir con relativa facilidad formas regulares como cuadrados, círculos o líneas. Sin embargo, existen estructuras mucho más complejas, con formas irregulares que pueden presentar detalles a escalas cada vez más pequeñas. Es el caso, por ejemplo, la longitud de una costa, la distribución de las ramas de un árbol, una nube o un sistema de ríos. Este tipo de estructuras se estudia, entre otros ámbitos, mediante la geometría fractal, que permite analizar objetos cuya complejidad no encaja bien con las dimensiones geométricas habituales. El trabajo en el que participa Mayordomo incorpora herramientas de la teoría de la información y de la informática teórica para obtener nuevos resultados sobre estas estructuras.

En concreto, la investigación permite avanzar en cuestiones relacionadas con la conjetura de Falconer, un problema abierto que estudia las distancias que pueden aparecer entre los puntos de conjuntos geométricos muy irregulares. El trabajo también amplía resultados clásicos relacionados con las proyecciones geométricas del matemático Jean Bourgain.

Más allá de estos resultados concretos, uno de los principales intereses del estudio está en la nueva técnica desarrollada por los investigadores, que podría utilizarse para abordar otros problemas de la geometría y de la teoría de la computación.

De hecho, la herramienta ya está siendo empleada en nuevas investigaciones relacionadas con la conjetura de Kakeya, otro de los grandes problemas abiertos de las matemáticas, lo que apunta a que su utilidad puede ir más allá de las cuestiones abordadas en este artículo.

El trabajo reúne a investigadores de distintas instituciones internacionales y cuenta entre sus autores con Elvira Mayordomo, investigadora del grupo COSMOS (Computer Science for Complex System Modeling) del I3A de la Universidad de Zaragoza. Su trayectoria científica se desarrolla en el ámbito de la teoría de la computación, la complejidad algorítmica y las conexiones entre la informática y las matemáticas.

El reconocimiento obtenido en el MFCS 2026 pone así el foco en una investigación de carácter fundamental que, aunque no tenga una aplicación práctica inmediata, amplía las herramientas disponibles para estudiar algunos de los problemas más difíciles de las matemáticas contemporáneas.

En un artículo anterior hablamos del uso de un eclipse solar, junto a ideas de la geometría riemanniana, en la confirmación experimental de la teoría de la relatividad general de Einstein. Mucho antes, en el siglo III a. C., otros astrónomos ya habían hecho uso de otro eclipse, en este caso lunar, junto con conceptos de geometría elemental, para medir distancias en el cosmos sin telescopios, fotografías ni instrumentos modernos. Sus conclusiones les permitieron establecer el primer sistema heliocéntrico del que se tiene constancia.

Las estimaciones aparecen en la obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y de la Luna, del matemático griego Aristarco de Samos. En ella determinaba con bastante precisión estas magnitudes, así como sus distancias relativas a la Tierra. Su modelo de partida era geocéntrico (la teoría dominante en aquella época) y se apoyaba en tres hipótesis: que la Tierra, la Luna y el Sol son esféricos, que sus órbitas son circulares y que, como el radio de la órbita del Sol es mucho mayor que el de la Luna, sus rayos llegan prácticamente paralelos entre la Luna y la Tierra.

Desde las aportaciones de Johannes Kepler (1571–1630) sabemos que las órbitas son elípticas (y, desde antes, que el sistema ha de ser heliocéntrico), sin embargo, para la validez del razonamiento geométrico de Aristarco, no era necesario conocer con precisión la forma completa de las órbitas: él estudiaba una configuración concreta del Sol, la Tierra y la Luna en un instante determinado. Suponer órbitas circulares afectaba a la precisión de los valores obtenidos, pero no a la idea esencial del método.

Los cálculos de Aristarco se basaban en los Elementos de Euclides, 13 libros publicados hacia el año 300 a. C. que recogían y organizaban de forma axiomática todos los conocimientos de geometría de la época (en el primero, por ejemplo, se demostraba el famoso teorema de Pitágoras).

Aristarco encadenaba tres observaciones. La primera es que el Sol y la Luna se ven aproximadamente del mismo tamaño desde la Tierra, de ahí que un eclipse solar pueda ser total. Eso significa que la relación entre el radio de estos cuerpos y su distancia a la Tierra debía ser la misma, un cierto valor a.

La segunda observación la hizo al observar media Luna. En ese instante, el triángulo formado por los centros del Sol, la Tierra y la Luna es rectángulo en el vértice de la Luna (ver imagen inferior). El ángulo que forman las líneas que unen la Tierra con el Sol y a la Luna permite calcular, aplicando una simple fórmula de trigonometría, el valor de a y que se trata del inverso del coseno de ese ángulo.

Hoy sabemos que el ángulo mide, aproximadamente, 89,85°, lo que da un valor de a cercano a 382. Aristarco, midiendo a ojo, estimó el ángulo como 87° y obtuvo un valor de a de 19. El error del ángulo se magnifica, al dividir por valores muy pequeños, menores que la unidad (el coseno de 87 es 0,05 y el de 89,85 es 0,002).

La tercera observación es para la que necesitó un eclipse lunar. Aprovechando un eclipse lunar total de máxima duración (es decir, aquel en que el centro de la sombra de la Tierra pasa exactamente por el centro del disco lunar), Aristarco cronometró cuánto tardaba la Luna en atravesar el borde de esa sombra. Asumiendo que la velocidad angular de la Luna en el firmamento es constante, ese tiempo de tránsito le permitió comparar el tamaño de la sombra terrestre con el de la propia Luna y concluyó que la sombra era el doble de grande que la Luna (hoy sabemos que es, en realidad, unas 2,6 veces mayor).

Con ese dato, aplicó el famoso teorema de Tales sobre dos triángulos semejantes formados por el cono de sombra de la Tierra. Y, partiendo de su estimación de la relación a, pudo obtener el radio de la Luna (el razonamiento completo, para quien quiera seguirlo, está en la imagen inferior).

Curiosamente, su estimación del radio de la Luna es poco sensible al valor exacto de a: en la fórmula, a partir de un cierto tamaño no cambia mucho. Por eso, aunque Aristarco había errado en su valor de a por un factor de 20, ese fallo apenas se nota en el resultado que obtuvo. El radio debía ser, según sus cálculos, 0,35 veces el radio de la Tierra. Resulta una aproximación asombrosamente buena (el valor real es 0,273 veces el radio de la Tierra), sobre todo si se tiene en cuenta que se obtiene a partir solo de observaciones a simple vista y geometría elemental.

Para obtener un valor aproximado del radio de la Luna solo hubo que esperar unas décadas a Eratóstenes, quien, también mediante geometría elemental y con la ayuda del Sol, calculó el radio de la Tierra.

Además, Aristarco llevó sus propias estimaciones más allá. Combinó sus resultados con otros métodos elementales de trigonometría, como los que permiten el cálculo de volúmenes de esferas, para concluir que el Sol tenía un volumen ¡300 veces mayor que el de la Tierra! Con el valor correcto de a, sabemos hoy que es más de un millón de veces mayor. Aun así, ya con su estimación, a Aristarco le pareció poco razonable la idea de un Sol tan grande girando alrededor de un cuerpo tan pequeño, y ese fue uno de los argumentos que le llevaron a desafiar al mismísimo Aristóteles y a proponer, siglos antes que Copérnico, un modelo heliocéntrico del Sistema Solar, con el Sol en el centro.

Autoría:

Marina Logares es profesora de la Universidad Complutense de Madrid (UCM).

Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del CSIC en el ICMAT, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática.

Mario García Fernández es científico titular del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

El pasado 23 de julio, en la ceremonia inaugural del Congreso Internacional de Matemáticos en Filadelfia (Estados Unidos), se anunciaron los nombres de los nuevos receptores del mayor reconocimiento dentro de las matemáticas: las Medallas Fields.

Los reconocimientos recayeron en Yu Deng (Universidad de Chicago, Estados Unidos), John Pardon (Universidad de Stony Brook, Estados Unidos), Jacob Tsimerman (Universidad de Toronto, Canadá) y Hong Wang (Universidad de Nueva York, Estados Unidos, e Institut des Hautes Études Scientifiques, Francia). Los cuatro desarrollan hoy su carrera en Norteamérica (Wang también en Francia), aunque tres de ellos nacieron fuera: dos en China, Deng y Wang, y uno en Rusia, Tsimerman.

Las Medallas Fields se conceden cada cuatro años desde 1936 (solo se interrumpió el premio durante la Segunda Guerra Mundial) a matemáticos y matemáticas menores de 40 años. Se entregan a un máximo de cuatro personas, coincidiendo con cada Congreso Internacional de Matemáticos, el mayor evento de esta ciencia. Con Wang, Deng, Tsimerman y Pardon ya son cerca de 70 matemáticos premiados desde su creación, solo tres de los cuales son mujeres. Antes de Wang, lo obtuvieron la iraní Maryam Mirzakhani y la ucraniana Maryna Viazovska.

A estos galardones se les conoce popularmente como el 'Nobel de las matemáticas', aunque a diferencia de este, la Fields nació con la vocación de reconocer también el talento de quienes, por su juventud, tienen aún mucho camino por delante. ¿En qué consisten los avances premiados en esta edición? Recogemos las palabras de sus ganadores en la rueda de prensa posterior a la ceremonia.

Yu Deng: de lo diminuto a lo global

El trabajo de Yu Deng “permite conectar la descripción microscópica del universo con la descripción macroscópica. Por ejemplo, de un fluido o un gas”, según sus propias palabras. “Si se mira de forma global, se trata de un objeto continuo [es decir, algo que puede describirse en cada punto del espacio, sin distinguir partículas individuales] cuya evolución se puede describir con las ecuaciones de Euler.

Pero, si se mira mucho más de cerca, el fluido está compuesto por partículas diminutas que siguen una ley distinta, la llamada ley de Newton. La pregunta es: ¿cómo derivar el comportamiento macroscópico a partir de esas interacciones microscópicas?“, explicaba el matemático chino en la rueda de prensa.

Es decir, ¿cómo el comportamiento de billones de partículas microscópicas termina produciendo, a gran escala, algo aparentemente tan ordenado como el movimiento del agua siguiendo los cauces de un rio? Se trata de una pregunta que lleva más de un siglo fascinando a físicos y matemáticos.

Un paso intermedio entre ambas escalas, que describe cómo evoluciona la probabilidad de que las partículas ocupen una posición y velocidad dadas, viene dado por la llamada ecuación de Boltzmann (1872). Deducirla de forma rigurosa a partir de las leyes de Newton, no solo a corto plazo, sino también para tiempos más largos, es un problema que ya figuraba en la lista de los problemas más importantes de las matemáticas que propuso el alemán David Hilbert en 1900.

Y sobre ello trata el logro de Deng: “El trabajo que he desarrollado con mis colaboradores deriva la ecuación de Boltzmann para tiempos arbitrariamente largos, completando así, bajo ciertas hipótesis, el puente entre ambas escalas”, apuntaba.

Aunque aseguraba que “todavía quedan muchas preguntas abiertas en el tipo de problemas en los que trabajo, sobre ecuaciones en derivadas parciales, estocásticas y afines”, confía en que sus métodos sirvan, al menos, para abordar alguna de ellas.

Jacob Tsimerman, geometría escondida en los números

La investigación de Jacob Tsimerman se engloba en la teoría de números. “En este campo, uno intenta predecir, en términos probabilísticos, qué propiedades cabría esperar en los números [es decir, qué resultados serían estadísticamente esperables, si no hubiera ninguna estructura oculta]; y cuando ocurre algo inesperado, se busca una explicación geométrica”, introducía Tsimerman.

El matemático trabaja en la conjetura de André-Oort, una predicción planteada en los años ochenta y noventa del siglo pasado por Yves André y Frans Oort. Tsimerman la demostró en 2021 junto con sus colaboradores, combinando la teoría de números con una herramienta inesperada: la o-minimalidad, proveniente de la lógica matemática.

“La conjetura trata de las variedades, unos objetos geométricos que pueden estudiarse mediante herramientas de la geometría algebraica, la geometría diferencial, la teoría de números o la teoría de representaciones. Viene a decir que si algo ”especial“ (con muchas simetrías) satisface una relación algebraica una y otra vez, tiene que haber una razón geométrica detrás. Es raro y muy satisfactorio ver tantas disciplinas encontrarse en un problema concreto como este”, explicaba el matemático de origen ruso.

Su técnica (la o-minimalidad) ha abierto una vía inesperada hacia otros problemas de la geometría algebraica. Entre ellos, ¿podría aplicarse para resolver la conjetura de Hodge, uno de los siete problemas del milenio del Clay Mathematics Institute? Tsimerman se mantuvo cauto ante esta pregunta: “Es un problema difícil. Quizá puede ayudar la o-minimalidad a resolverlo, pero ahora mismo la o-minimalidad no es la herramienta obvia para eso. No veo un camino claro, pero tampoco veo por qué no podría acabar siéndolo”.

Hong Wang, por el giro de una aguja

Hong Wang trabaja en la llamada conjetura de Kakeya. “Esta plantea lo siguiente: si un conjunto contiene un segmento unidad en cada dirección posible, ¿cómo de pequeño puede llegar a ser?”, explicaba Wang en el ICM.

Imaginemos una aguja infinitamente fina que debe girar hasta apuntar, en algún momento, hacia todas las direcciones posibles del espacio. La conjetura, propuesta por el matemático japonés Sōichi Kakeya en 1917, plantea cuál es el volumen mínimo que necesita la región por la que se mueve para lograrlo.

“La conjetura dice que debe tener, como mínimo, cierta dimensión. Junto con Joshua Zahl demostramos el caso en tres dimensiones, apoyándonos en trabajo previo de [Larry] Guth”, afirmaba la matemática china.

El resultado va mucho más allá del planteamiento inicial: los llamados “conjuntos de Kakeya”, los que contienen la aguja en todas las direcciones, están profundamente conectados con el análisis armónico, la teoría de números y las ecuaciones en derivadas parciales, campos a los que también repercute el avance de Wang y Zahl.

La conjetura de Kakeya, de momento, sigue abierta a partir de la dimensión cuatro. “Creo que algunas de las herramientas y el marco que desarrollamos para el caso tridimensional podrían ayudar a entender también las dimensiones superiores, aunque estas presentan una obstrucción adicional. Es difícil predecir cuánto costará extender el resultado a niveles más altos”, indicaba Wang.

John Pardon, la geometría en silencio

A diferencia de sus tres colegas, Pardon no acudió a la rueda de prensa (es conocido dentro de la comunidad matemática por su discreción), así que su trabajo llega aquí sin cita propia. Según el fallo del jurado del premio, se le reconoce por sus contribuciones a la geometría simpléctica, una rama a medio camino entre la geometría y la topología. Estudia el llamado “espacio de fases”, el conjunto de todos los estados posibles de un sistema físico, como las posiciones y velocidades de las partículas de un gas. Entre sus logros más celebrados está la demostración, en 2023, de una conjetura sobre cómo contar curvas en las llamadas variedades de Calabi-Yau, unas formas geométricas con aplicaciones en teoría de cuerdas. La conjetura sostiene que dos maneras completamente distintas de contar esas curvas son, en realidad, dos formas de leer una misma información oculta. La demostración de Pardon introdujo una herramienta tan novedosa (hoy conocida en el campo como “álgebra de Pardon”) que cambió la manera en que los especialistas piensan toda la disciplina.

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Autoría: Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Los eclipses, además de ser un espectáculo sobrecogedor, son un fenómeno astronómico muy útil para la ciencia. A lo largo de la historia se han empleado, en combinación con diversas herramientas geométricas, para entender nuestro sistema solar, calcular la velocidad de la luz e incluso comprobar la curvatura de nuestro universo.

En efecto, un eclipse solar, como el que se observará este 12 de agosto en la Península ibérica, fue la clave para hallar las primeras pruebas experimentales de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein. En esta teoría, la gravedad se postula no como una fuerza atractiva entre dos masas, tal y como enunciara Isaac Newton, sino como una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo.

La curvatura de una superficie es un concepto intuitivo, que tiene que ver con cuanto difiere dicha superficie en un punto de su plano tangente. Sin embargo, determinar que un espacio está curvado cuando se vive dentro de él, como es el caso de nuestro universo, requiere de herramientas geométricas. Con ellas, durante un eclipse solar en 1919, el astrónomo Arthur Eddington logró registrar las desviaciones de la luz de estrellas lejanas provocadas por la curvatura del espacio (y el tiempo), debida a la materia del Sol.

El lenguaje para formular la famosa teoría de Einstein está basado en desarrollos del matemático Bernard Riemann. En la geometría riemanniana, se puede pensar en el espacio como hecho de un material flexible que se puede deformar. Este material se vuelve rígido y adquiere curvatura, en presencia de un objeto llamado métrica, que permite realizar mediciones en el espacio. Una métrica que determina de manera única la distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio, así como las trayectorias específicas entre puntos que minimizan la distancia entre ellos, llamadas geodésicas.

En estos espacios, al igual que ocurre en el plano, tres puntos determinan un triángulo, con lados dados por las correspondientes geodésicas. Si la suma de los ángulos del triángulo es mayor que 180 grados, se trata de un espacio con una curvatura positiva (mayor que cero); si suman 180, es un espacio con una curvatura igual a cero (plano); y si suman menos de 180, es un espacio con curvatura negativa (menor que cero).

Según los postulados de Einstein, el espacio y el tiempo están entrelazados en un espacio de Riemann, cuya métrica queda determinada por la distribución concreta de masa y energía que se observa en el universo, a través de la llamada ecuación de campo de Einstein.

Además, en esta teoría la luz siempre se desplaza a velocidad constante, describiendo una trayectoria geodésica, en un espacio curvado por las masas. Por tanto, los rayos de luz de una estrella lejana que pasan cerca del Sol, deberían curvarse por culpa del campo gravitatorio generado por la masa de nuestra estrella.

Pero el Sol no está siempre delante de las mismas estrellas: a medida que la Tierra recorre su órbita a lo largo del año, el Sol se proyecta aparentemente contra distintas regiones del cielo. Esto permite comparar la posición aparente de un grupo de estrellas en dos momentos: una vez con el Sol interpuesto en la línea de visión, y meses después, cuando la Tierra ocupa el lado opuesto de su órbita y esas mismas estrellas pueden observarse de noche, sin el Sol de por medio.

Si, efectivamente, la luz se curva cuando pasa cerca del Sol, la posición observada durante el primer caso debería aparecer desplazada respecto a la segunda. Pero para observar el primer caso es necesario otro objeto que oculte la luz solar, de manera que se puedan distinguir los rayos provenientes de las estrellas lejanas. Es decir, es necesaria la Luna, produciendo un eclipse solar sobre la superficie terrestre.

Aunque Einstein diseñó este experimento mental alrededor de 1915, tuvo que esperar cuatro años para encontrar evidencias experimentales de su teoría. Así, en el año 1919, el astrónomo británico Arthur Eddington organizó dos expediciones para observar un eclipse solar: una dirigida por él mismo a la isla de Príncipe, frente a la costa de África Occidental, y otra a Sobral, en Brasil, liderada por Andrew Crommelin y Charles Davidson.

Durante el eclipse, las expediciones fotografiaron la posición de todas las estrellas cercanas al Sol. Al comparar estas imágenes con fotografías de las mismas estrellas, tomadas en otro lugar de nuestra órbita, Eddington y su equipo descubrieron que, efectivamente, las posiciones aparentes de las estrellas estaban desplazadas, confirmando de esa forma la predicción de Einstein, y encontrando las primeras pruebas experimentales de su teoría.

Mario García Fernández es científico titular del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del CSIC en el ICMAT, donde coordina la Unidad de Cultura Matemática.

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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Katherine Johnson nació en 1918 en Virginia Occidental con una curiosidad insaciable por los números que la llevaría… hasta las estrellas. Desde su infancia demostró una habilidad prodigiosa para la geometría que desafiaba las expectativas sociales de la época. A pesar de la segregación racial imperante, sus padres se mudaron para que ella pudiera estudiar en el West Virginia Colored Institute. Se graduó con honores a los 18 años, tras cursar asignaturas de aeronáutica creadas específicamente para su talento. Fue la primera mujer afroamericana en ingresar a un programa de posgrado tras un fallo histórico del Tribunal Supremo, brillantez académica que fue el preludio de una carrera que rompería barreras de género y raza en la ciencia.

Con una mente privilegiada, se preparó para cambiar para siempre el curso de la historia aeroespacial de su nación. En 1953 Johnson se incorporó a la NACA para trabajar como una “calculadora humana” encargada de procesar datos aeronáuticos complejos. En una era previa a la computación electrónica, mujeres con habilidades matemáticas excepcionales realizaban el trabajo tedioso de medir resultados experimentales. Katherine fue asignada inicialmente a las “computadoras del oeste”, un grupo formado por mujeres afroamericanas que trabajaban bajo estrictas leyes de segregación. En el centro Langley debía utilizar instalaciones separadas, sufriendo la discriminación sistémica que marcaba la vida cotidiana en los Estados Unidos. No obstante, su dominio de la geometría analítica la hizo destacar rápidamente entre los ingenieros de la división técnica de vuelo.

De hecho, solo dos semanas después de comenzar fue trasladada al Grupo de Trabajo Espacial para colaborar en proyectos de vanguardia. Su labor consistía en calcular con precisión absoluta los resultados de las pruebas en túneles de viento. Pero Katherine no se limitó a realizar cálculos mecánicos y desafió las normas preguntando constantemente los motivos detrás de cada ecuación técnica. Insistió en asistir a las reuniones informativas con altos mandos, un espacio anteriormente reservado de forma exclusiva para los hombres blancos. Su persistencia la llevó a ser la primera mujer en su división que firmó como coautora un informe de investigación técnica.

Publicó ecuaciones esenciales para describir vuelos orbitales con posiciones de aterrizaje específicas para naves espaciales junto al ingeniero Ted Skopinski. En un mundo donde las mujeres eran invisibles en la ciencia oficial, Johnson logró que su nombre quedara registrado para la posteridad. Participó en la redacción de los primeros manuales sobre tecnología espacial, definiendo las leyes matemáticas que regirían la exploración. Su rebelión contra el papel secundario asignado a las mujeres negras fue clave para abrir puertas a futuras científicas. Demostró que la lógica no conoce fronteras raciales, ganándose finalmente el respeto de toda la comunidad de ingenieros.

La labor de Johnson fue determinante durante el Proyecto Mercury, el primer programa de vuelos espaciales tripulados de los Estados Unidos. Realizó el análisis de trayectoria para la misión Libertad 7 de 1961, llevando a Alan Shepard a ser el primer estadounidense en el espacio. Para ello debió considerar variables físicas complejas como la masa del cohete, el ángulo de despegue y la atracción gravitatoria. Cada cálculo debía ser exacto para garantizar la seguridad del astronauta y el éxito de una misión seguida por el mundo. Katherine recordaba que, al no existir libros previos, el equipo tuvo que inventar las matemáticas necesarias para rastrear vehículos espaciales. Su capacidad para resolver problemas de navegación astronómica la convirtió en un pilar fundamental del Grupo de Trabajo Espacial.

La confianza en sus números era total y se le asignaron las tareas más críticas en un momento de tensión. En 1962 la introducción de las computadoras IBM cambió la dinámica de la NASA pero no eliminó la necesidad del talento humano. El astronauta John Glenn desconfiaba de los resultados de las máquinas antes de su histórico vuelo orbital en la Friendship 7. Glenn solicitó personalmente que Katherine verificara a mano los cálculos de la trayectoria y el punto de reentrada en la atmósfera. Afirmó que si ella decía que los números eran correctos entonces estaba plenamente preparado para iniciar su viaje espacial. Katherine pasó horas analizando las ecuaciones programadas en el ordenador, confirmando que la tecnología electrónica había operado de forma muy precisa. Este acto de validación manual fue crucial para establecer la confianza necesaria en los sistemas informáticos del futuro.

A la Luna

Gracias a su precisión el vuelo de Glenn fue un éxito rotundo que marcó un punto de inflexión en la carrera. Su figura se elevó como el puente necesario entre la era del cálculo manual y la automatización digital. El mayor logro de Johnson fue su contribución directa al programa Apolo que llevó al ser humano a caminar sobre la Luna. En 1969 calculó con exactitud la trayectoria de la nave Apolo 11 y el momento preciso para el despegue lunar. Sus ecuaciones permitieron sincronizar el módulo de aterrizaje con la nave en órbita, garantizando el regreso seguro de los astronautas. Sin su intervención el acoplamiento perfecto necesario para volver a la Tierra habría sido una tarea imposible de realizar. Además desarrolló protocolos de emergencia y cartas de navegación que salvaron la vida de la tripulación del Apolo 13.

Cuando la misión falló en el espacio sus cálculos permitieron que los astronautas retornaran sanos utilizando procedimientos de respaldo. Su trabajo consistía en prever cada posible desastre y ofrecer una solución matemática certera en momentos de gran crisis. Tras 33 años de servicio ejemplar Katherine se jubiló en 1986 dejando tras de sí 26 informes científicos publicados. Durante las décadas siguientes su labor comenzó a recibir el reconocimiento público que la historia le había negado inicialmente. En el año 2015 el presidente Barack Obama le otorgó la Medalla Presidencial de la Libertad, el honor civil más alto. La NASA honró su memoria nombrando en su honor el Centro de Investigación Computacional y otras instalaciones tecnológicas de vanguardia. Su vida fue retratada en el libro “Hidden Figures” y en una película que reveló al mundo la importancia de las matemáticas. Johnson falleció en 2020 a la edad de 101 años habiendo visto cómo sus cálculos cambiaron para siempre a la humanidad.

Estos días de verano, en cualquier noche despejada, además de buscar las estelas de las Perseidas, fíjate bien en las estrellas más brillantes: quizás, las que tú ves tienen seis puntas, mientras la persona que tienes al lado las ve con ocho. Ahora bien, si los astros poseen forma de elipsoide, ¿por qué los percibimos de esta manera? Y ¿a qué se debe la diferencia en el número de puntas?

Las matemáticas nos ayudan a abordar estas cuestiones.

La óptica geométrica, una rama de la física matemática que estudia el comportamiento de la luz mediante el concepto de rayos luminosos, permite explicar el proceso por el que se forman las imágenes en el ojo humano. La luz procedente de una estrella lejana se describe con una familia de rayos que emanan del punto en el que se sitúa la estrella y que son, todos ellos, perpendiculares a una superficie llamada frente de onda. Estos rayos, al refractarse dentro del ojo, llegan a la retina, concentrados en unas zonas que se denominan cáusticas. Así, el ojo forma las cáusticas con estructura de estrella de puntas a partir de ese astro lejano.

El número de puntas de la cáustica está íntimamente ligado a su orden de simetría. Esta simetría es de tipo rotacional: una figura tiene simetría rotacional de orden n si, al girarla 360/n grados alrededor de su centro, queda exactamente igual. Una estrella de tres puntas, por ejemplo, tiene orden tres: al rotarla 120° (es decir, 360/3) no cambia su forma.

Ahora bien, para identificar las simetrías de la cáustica que ve una persona es necesario tener en cuenta las imperfecciones de su ojo, que se denominan aberraciones. Estas determinan el grado de emborronamiento de las imágenes que se forman en la retina. Matemáticamente, las aberraciones se describen mediante una expresión que muestra cómo difiere el frente de onda que llega a la retina del que produciría un sistema óptico perfecto, que es la esfera.

Esta expresión se aproxima como una suma de los denominados polinomios de Zernike, propuestos en la década de 1930 por el físico Frits Zernike, ganador del Premio Nobel de Física en 1953. El ojo de cada persona tiene asociada una combinación precisa de estos polinomios, una suerte de huella óptica que determina la forma particular de su cáustica.

Recientemente se ha demostrado que ciertas combinaciones de polinomios de Zernike se asocian a determinadas estructuras cáusticas en forma de estrella. En particular, se han identificado las combinaciones de polinomios de Zernike que se vinculan con la simetría rotacional de orden n del frente de onda. Con ello, sabemos que, por ejemplo, los ojos que tienen aberraciones descritas por polinomios vinculados a la simetría rotacional de orden tres, más algunas condiciones adicionales, verán estrellas de tres puntas, mientras que los vinculados a simetría rotacional de orden cuatro, verán estrellas de cuatro o de ocho puntas.

Si los ojos de una persona no tienen asociados este tipo de polinomios, no podrá ver las estructuras cáusticas en forma de estrella. Sin embargo, incluso habiéndolos, podrían no percibirlas de esta manera, ya que es necesario que se presenten otros factores, como la ausencia de contaminación lumínica. Por otro lado, si una persona tiene mucha miopía o hipermetropía y no lleva gafas o lentes de contacto, sus polinomios de Zernike dominantes tienen una simetría rotacional completa, y no verá estrellas sino puntos emborronados.

Este nuevo estudio matemático ofrece, además, un esquema conceptual para investigar el origen fisiológico de este fenómeno óptico. Si fuese posible relacionar matemáticamente la morfología del ojo con las estructuras cáusticas en forma de estrella, estas podrían ofrecer información muy relevante del interior de nuestros ojos. Y el método de diagnóstico no podría ser más sencillo: bastaría con mirar al cielo una noche de verano despejada como las de este verano.

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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Los 80 años de intentos fallidos terminaron por explicar por qué nadie encontraba una demostración, ya que la conjetura de la distancia unidad de Erdős era falsa. El 20 de mayo de 2026, un grupo de investigadores anunció que un sistema de inteligencia artificial había construido un contraejemplo capaz de cerrar uno de los problemas abiertos más antiguos de la combinatoria.

IFLScience presentó el hallazgo como una ruptura doble, porque resolvía una cuestión planteada durante ocho décadas y colocaba a una máquina en el centro del resultado.

Noga Alon, combinatorista de la Universidad de Princeton que revisó la prueba en un artículo complementario para OpenAI, calificó el trabajo como “el resultado individual más espectacular”. El matemático añadió que casi cada pocos días aparece una nueva demostración producida con ayuda de estos sistemas, una frecuencia que está alterando la investigación.

OpenAI recurrió a ramas poco habituales para construir la prueba

La conjetura preguntaba cuántos pares de puntos podían encontrarse a una misma separación dentro de un plano, y el matemático húngaro Paul Erdős había propuesto que, para n puntos distintos, el máximo sería n elevado a 1 más O de uno partido por logaritmo del logaritmo de n.

La dificultad no estaba en formular el problema, cuya expresión cabía en pocas palabras, aunque esa apariencia llevó a varias generaciones a confiar en que acabarían confirmándolo. Erdős llegó a ofrecer recompensas económicas por cuestiones que deseaba ver resueltas, y los matemáticos atacaron esta durante décadas desde enfoques distintos.

OpenAI recibió la tarea de resolverla y produjo una construcción contraria, que Thomas Bloom, combinatorista aritmético de la Universidad de Manchester, describió como una generalización natural y muy exigente de la estructura reticular ideada por Erdős.

La vía empleada exigía conocimientos de geometría discreta y teoría algebraica de números, dos áreas que pocos investigadores dominan a la vez y que rara vez se relacionan al abordar este problema. Alon explicó que las herramientas utilizadas eran avanzadas y que esa conexión no habría sido la primera opción para una persona.

El sistema pudo explorarla durante más tiempo, sin abandonar una línea por cansancio o por la impresión de que había dejado de merecer la pena, mientras recuperaba en segundos artículos y resultados dispersos.

Thomas Chen, físico matemático de la Universidad de Texas en Austin, reconoció que esa capacidad para localizar información reduce a segundos búsquedas que antes exigían días de biblioteca. Aun así, advirtió de que estos modelos pueden omitir referencias o atribuir trabajos a autores equivocados, además de fabricar citas y razonamientos enteros.

También tropiezan con el razonamiento abstracto y la geometría. En algunos problemas de su campo, afirmó, la respuesta obtenida alcanza alrededor de un 60% de corrección, un porcentaje que obliga a revisar por separado cada cálculo y cada referencia antes de aceptar el resultado.

Los modelos actuales plantean dudas sobre la transparencia de las pruebas

Los ordenadores ya participaban en demostraciones desde que el teorema de los cuatro colores se resolvió en 1976, aunque entonces los matemáticos conocían el algoritmo y podían comprobar su convergencia junto con los márgenes de error.

Chen señaló que los modelos generativos introducen una caja negra cuyo funcionamiento no controlan las personas que los usan ni comprenden por completo sus propios creadores. Para una disciplina asentada en pasos verificables, esa opacidad afecta al valor de la prueba, que conserva el razonamiento seguido y puede abrir métodos o conceptos nuevos además de certificar una afirmación.

La Declaración de Leiden, presentada un mes antes y firmada por más de 3.000 científicos y matemáticos, pidió frenar una adopción acrítica que pueda dañar la claridad y la transparencia, además de debilitar la evaluación y la autonomía. Chen defendió que la comunidad tendrá que aceptar estas herramientas dentro de su trabajo y asumir la responsabilidad de explicar cómo operan.

Alon situó el límite actual en tareas distintas, pues las máquinas encuentran demostraciones mejor de lo que seleccionan preguntas valiosas. Tampoco muestran todavía la misma capacidad para crear definiciones útiles y desarrollar criterio matemático.

Los investigadores creen que el control humano seguirá siendo decisivo

El futuro de esta relación dependerá de cuánto control mantengan los investigadores sobre cada paso que una máquina proponga y de si consiguen abrir procesos que hoy permanecen ocultos.

Chen consideró que la explicabilidad y la seguridad todavía forman un campo joven con margen de avance, mientras Alon dejó abierta la posibilidad de que los modelos aprendan también las partes menos medibles de la disciplina.

La prueba publicada por OpenAI deja así una obligación nueva, que es revisar la respuesta y comprender el camino antes de convertirla en conocimiento matemático.

El investigador del I3A Unizar Lucas Tesán ha sido distinguido con uno de los Travel Grant Awards del Congreso Internacional CMBE 2026 (International Conference on Computational & Mathematical Biomedical Engineering), celebrado en Kobe, Japón. Un reconocimiento a su trabajo de investigación en dos de las líneas más punteras en la intersección entre matemáticas, inteligencia artificial e ingeniería biomédica, el aprendizaje profundo topológico (Topological Deep Learning) y las redes neuronales de grafos (Graph Neural Networks) aplicados a sistemas biológicos.

Lucas Tesán desarrolla su investigación dentro del equipo del profesor Elías Cueto, del Instituto de Investigación en Ingeniería de Aragón (I3A) de la Universidad de Zaragoza, donde, entre otros grandes proyectos, se encuentra la Cátedra de Inteligencia Artificial y Sostenibilidad de la Estrategia Nacional de Inteligencia Artificial (ENIA), que recientemente ha obtenido una ayuda Advanced Grant del European Research Council (ERC) para seguir avanzando en sus investigaciones.

Actualmente, es investigador predoctoral en el grupo de Mecánica Aplicada y Bioingeniería (AMB) de la Universidad de Zaragoza. Es ingeniero mecánico y máster en Ingeniería Biomédica por la misma universidad. Su actividad investigadora se centra en el desarrollo de métodos de simulación computacional e inteligencia artificial para el modelado de sistemas físicos complejos. Sus principales líneas de investigación abarcan la simulación en tiempo real, el aprendizaje automático científico, las redes neuronales informadas por la física (Physics-Informed Neural Networks, PINNs), los operadores neuronales y las redes neuronales de grafos, con especial interés en su aplicación al desarrollo de gemelos digitales.

El Congreso Internacional sobre Ingeniería Biomédica Computacional y Matemática (CMBE) en el que ha recibido este premio es una de las citas de referencia mundial en este campo, y congrega cada edición a investigadores, académicos, profesionales y estudiantes de posgrado de múltiples disciplinas para debatir los últimos avances en el uso de métodos computacionales y matemáticos aplicados a la Ingeniería Biomédica. Que el trabajo de Lucas Tesán haya destacado en un foro de este nivel es un reflejo de la calidad y de la proyección internacional de la investigación que hacen los investigadores dentro del I3A y del talento joven que hay en la Universidad de Zaragoza.

Lucas Tesán recogió este premio durante la cena de gala del congreso, a finales del mes de junio, en un acto que reunió a algunos de los investigadores más destacados a nivel internacional en Ingeniería Biomédica Computacional.

“La cabeza y en ataque frontal sobre un escritor inglés que el personaje de este punto es por lo tanto otro método”. Hoy en día, decir que la frase anterior ha sido generada de forma automática, por un algoritmo, no excusa su falta de sentido: los grandes modelos de lenguaje detrás de los chatbots que pueblan el ciberespacio son capaces de generar textos de una coherencia aparente muy superior. Sin embargo, el método mediante el que lo consiguen es, esencialmente, el mismo que el empleado para componer la frase inicial: predecir, en función de las palabras anteriores, qué palabra de su diccionario sigue la secuencia. La diferencia son décadas de sofisticación en la manera de realizar esta predicción.

En efecto, la frase que encabeza este texto fue generada, en 1948, por el ingeniero y matemático estadounidense Claude Shannon (1916-2001), para su artículo titulado Una teoría matemática de la comunicación. Shannon estudiaba el envío de mensajes desde un emisor hasta un receptor y buscaba la manera óptima de codificarlos para su transmisión. Para analizar matemáticamente el problema, imaginó al emisor como una fuente que iba lanzando mensajes según una cierta probabilidad.

Dicha probabilidad no era la misma para todos los mensajes, había observado Shannon. En efecto, se podía esperar que un telegrafista que transmitiera un texto letra a letra enviase muchas más veces la e y la a que la j o la z —en este artículo hay 1162 de las primeras frente a 51 de las segundas—. Según su probabilidad, Shannon decidió asignar a cada mensaje una cierta cantidad de información. Cuanto más improbable, es decir, cuanta más sorpresa causara al receptor, mayor cantidad de información. Por ejemplo, si al otro lado de la línea, una hija pequeña le está indicando a su padre qué le apetece para comer, las respuestas más usuales, como “pizza” o “espaguetis”, por esperables, serían poco informativas, mientras que, si la niña pide “brócoli”, su progenitor se hallará ciertamente sorprendido.

Shannon dio un valor numérico a esta idea. Definió la cantidad de información de un mensaje, medida en bits, a partir del logaritmo de la probabilidad de que el emisor escoja dicho mensaje, de manera que a mensajes más improbables corresponde una mayor cantidad de información: más sorpresa. La cantidad de información promedio de los mensajes de una fuente se llama entropía de Shannon, y cuantifica el ritmo al que ésta genera información. Por ejemplo, una fuente que emite un único mensaje (“pizza, pizza, pizza...”) no transmite ninguna información, ya que el receptor ya sabe lo que recibirá antes de que llegue: su entropía es la mínima posible, cero bits.

Pese a su aparente trivialidad, esta idea resulta crucial a la hora de comprimir la información. Para su transmisión, los mensajes del emisor han de ser codificados, ya sea como puntos y rayas en el código morse de un telégrafo, o ceros y unos en la comunicación digital. En aras de una mayor eficiencia, merece la pena codificar los mensajes más probables de forma más breve. Por ejemplo, en morse, la letra e, la más frecuente tanto en español como en inglés, se codifica con un único punto (·), mientras que la j, mucho menos común, requiere de un punto y tres rayas (·---), lo cual resulta en una velocidad de comunicación bastante más alta que si fuera al revés. Así, la longitud de la codificación de un mensaje crece con la cantidad de información del mismo.

¿Hasta qué punto podríamos, de esta manera, acelerar la transmisión de información? La respuesta de Shannon llegó en forma de teorema: demostró que el límite óptimo de la compresión, en bits por mensaje, corresponde a la entropía de la fuente. Si, por ejemplo, ésta fuera de cinco bits, una codificación perfecta con el mejor de los métodos requeriría cinco bits en promedio por mensaje. Y esto no solo se aplica a los antiguos telegrafistas: la compresión de imágenes en JPEG, canciones en MP3 u otros archivos en ZIP se basa en estos mismos principios.

Por supuesto, un emisor en la vida real no escoge cada mensaje independientemente de los demás, sino que la secuencia importa: la letra e es la más probable en general, pero no justo después de una q; y detrás de “pizza” es mucho más fácil encontrar “margarita” que “ventana”. La frase al principio de este artículo fue generada haciendo que la probabilidad de cada palabra dependiera de la inmediatamente anterior. Esta dependencia entre mensajes reduce la entropía, ya que el interlocutor tiene una mejor idea de qué va a recibir después (le sorprende menos), pero hace más difícil calcularla. En un artículo posterior, Shannon intentó medir experimentalmente la entropía del inglés, borrando letras de un texto y pidiendo a otras personas que las adivinaran en función de las anteriores: sus cálculos arrojaron un valor de en torno a un bit por carácter. Curiosamente, 75 años después, este es el método que se usa para entrenar modelos de lenguaje en inteligencia artificial, haciéndoles “jugar” a continuar la secuencia a partir de millones de textos.

Más allá de estos modelos, también los códigos correctores de errores empleados para hacer frente a interferencias en una señal wifi o los estudios sobre la capacidad de los futuros sistemas de comunicación cuánticos siguen las ideas de Shannon. 25 años después de su muerte, es difícil encontrar un área de las tecnologías de la información que no se viera de un modo u otro impactada por su teoría.

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Adrián Franco Rubio es investigador en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado. 

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria, coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT

Calcular algo sin datos fiables obliga a tomar decisiones rápidas y a confiar en el propio criterio. Esa es la puerta de entrada a los problemas de Fermi, una forma de responder preguntas que parecen fuera de alcance usando lógica básica y suposiciones razonables. El planteamiento no busca exactitud absoluta, sino una aproximación útil que permita entender el tamaño real de un problema.

Ese enfoque tiene una base concreta que conviene dejar clara desde el principio. Un problema de Fermi funciona porque trabaja con órdenes de magnitud y no con cifras precisas, de modo que cada número se entiende como una aproximación dentro de un rango amplio.

Esto inevitablemente va a generar errores, pero al encadenar varias estimaciones, los fallos no se disparan sin control, ya que una suposición algo alta puede compensar otra más baja. Con ese equilibrio, el resultado final tiende a quedarse cerca de la realidad aunque ninguna cifra intermedia sea exacta.

Las estimaciones aproximadas ayudan a responder preguntas sin datos completos

La escena que mejor explica este método ocurrió en 1945, cuando la primera bomba atómica explotó en el desierto de Nuevo México y Enrico Fermi, premio Nobel y padre de este tipo de cálculos, dejó caer pequeños trozos de papel para medir el desplazamiento provocado por la onda expansiva.

A partir de ese movimiento calculó una potencia cercana a 10 kilotones de TNT, una cifra que quedó próxima al valor real de 20 kilotones. Ese episodio resume una forma de pensar que convirtió estimaciones rápidas en respuestas útiles incluso en situaciones extremas.

Esa misma lógica aparece cuando se intenta calcular cuántas pelotas caben en un autobús escolar, ya que obliga a partir de medidas conocidas y avanzar con hipótesis razonables sobre el tamaño del vehículo y el diámetro de cada objeto.

A partir de ahí, la operación se transforma en una cadena de cálculos sencillos que permite llegar a una cifra aproximada que se sitúa en el orden de las 100.000 unidades, siempre que el espacio esté vacío y sin obstáculos internos.

El método se vuelve aún más claro cuando se aplica al ejemplo clásico de los afinadores de piano en una gran ciudad. El razonamiento del propio Fermi empieza con una estimación de la población, sigue con el número de hogares y añade después una proporción de viviendas con piano, junto a la frecuencia de afinación anual.

Al sumar la carga de trabajo que puede asumir cada profesional, el resultado final se acerca a una cifra razonable que, aunque no sea exacta, sirve para entender la escala del fenómeno.

Las empresas evalúan el razonamiento con preguntas abiertas

Ese tipo de ejercicio también se utiliza fuera del ámbito académico, ya que muchas empresas lo emplean en entrevistas para evaluar cómo una persona afronta una situación abierta sin datos completos.

El físico de partículas Stefan Funk, que enseña este tipo de problemas en la Universidad de Stanford, explicó en ese contexto que “se trata de ser capaz de dar un paso atrás y mirar el resultado para ver si tiene sentido”. A continuación añadió que “si el error es de un factor dos o tres no pasa nada, pero si es enorme entonces hay un problema”, lo que refuerza la idea de que la coherencia del proceso importa más que la precisión absoluta.

La utilidad de este enfoque también aparece en la ciencia, donde se usa como una comprobación inicial antes de recurrir a métodos más complejos. Con ese paso previo se detectan posibles errores en los datos o en los planteamientos, ya que los cálculos simples hacen evidentes inconsistencias que podrían pasar desapercibidas en modelos más elaborados. Por eso se convierte en una herramienta que acompaña a la investigación desde sus primeras fases.

Para resolver uno de estos problemas conviene escribir las hipótesis, redondear cifras y dividir la cuestión en partes manejables que se puedan calcular sin dificultad. El proceso gana claridad cuando se exponen los pasos en voz alta o se anotan sobre papel, porque así se mantiene el control de cada decisión y se evita perder el hilo del razonamiento. A partir de ahí, cada resultado parcial se conecta con el siguiente hasta construir una estimación global coherente.

El legado de Enrico Fermi llegó a la enseñanza y otras disciplinas

Este tipo de preguntas recibe el nombre de Enrico Fermi porque reflejan la capacidad que tenía el físico italiano para trabajar con información escasa. Su trayectoria incluye la creación del primer reactor nuclear y el desarrollo de ideas que marcaron la física del siglo XX, aunque su forma de pensar sigue presente hoy en aulas y contextos profesionales donde se busca entrenar la capacidad de análisis.

La extensión de este método a otras disciplinas ha reforzado su valor en la enseñanza, ya que permite a estudiantes de distintas edades enfrentarse a problemas abiertos y aprender a identificar variables relevantes.

Con ese entrenamiento, cada persona mejora su forma de interpretar situaciones complejas y gana herramientas para entender mejor el entorno que le rodea.

En la región de Apulia se alza una estructura que poco tiene que ver con las fortalezas medievales europeas. Castel del Monte, situado en la Meseta de Murge, cerca de la ciudad de Andria, es mucho más que un simple edificio. Desde el año 1996, este monumento ostenta el título de Patrimonio de la Humanidad otorgado por la UNESCO. Su silueta se eleva hasta 540 metros de altura, dominando el paisaje con una presencia que evoca poder y misterio.

La construcción fue encargada hacia 1240 por el emperador Federico II de Suabia, una figura histórica excepcional. Conocido por su vasta educación humanista, el soberano acogió en su corte a eruditos de diversas culturas para fomentar el conocimiento científico. Su pasión por las matemáticas y la astronomía se plasmó directamente en el diseño de esta edificación, convirtiéndola en un símbolo intelectual. Federico II buscó fusionar diversas influencias artísticas en una sola obra, logrando una síntesis cultural sin precedentes entre Oriente y el Occidente.

Lo que más sorprende al visitante es su planta octogonal perfecta, una característica que se repite obsesivamente en cada rincón del castillo. Este diseño geométrico no es fruto del azar, sino de un rigor matemático extremo que buscaba la armonía absoluta en la piedra. El octógono actúa como un puente simbólico entre el círculo divino y el cuadrado terrenal, representando una conexión entre cielo y tierra. Cada lado de la estructura principal mide la misma longitud exacta, creando una simetría hipnotizante que es rara en la arquitectura medieval.

El número ocho es el protagonista indiscutible en la configuración total, extendiéndose desde la base hasta las torres que coronan el edificio. Existen ocho torres de planta octogonal situadas en las ocho esquinas, y cada piso contiene ocho salas dispuestas alrededor de un patio. Incluso las ventanas que iluminan el interior siguen este patrón numérico, reforzando el carácter esotérico que muchos estudiosos han analizado durante siglos. Para muchos, esta recurrencia numérica evoca las ocho puntas de una corona real, subrayando el propósito de representación del poder imperial buscado.

La arquitectura del castillo es una fusión magistral de diversos estilos, integrando elementos del gótico cisterciense, el románico y el arte islámico. Las puertas están decoradas con mármoles de colores y frisos clásicos, mientras que los mosaicos reflejan el refinamiento propio de las cortes. Este eclecticismo arquitectónico demuestra la visión cosmopolita del emperador Federico, quien no temió mezclar tradiciones para crear una obra maestra única. A pesar del saqueo de muchos de sus tesoros interiores originales, la piedra caliza blanca todavía brilla bajo el sol del sur.

Además de su precisión matemática, el castillo funciona como un observatorio, diseñado para crear efectos específicos de luces y sombras durante el año. La posición de las salas y las ventanas se alinea exactamente con eventos astronómicos cruciales, como los solsticios y los equinoccios estacionales. Este diseño sugiere que el edificio pudo haber tenido funciones rituales, donde la luz solar jugaba un papel determinante en su interior sagrado. La luz se convierte en un elemento constructivo más de la obra, revelando el ingenio de los arquitectos que ejecutaron los deseos imperiales.

Belleza sin defensas

A diferencia de otras fortalezas de su época, este curioso castillo carece de elementos defensivos, como fosos, puentes levadizos o establos para los caballos del ejército. Incluso sus escaleras de caracol están construidas en sentido antihorario, algo que dificultaría la defensa para un soldado diestro en caso de invasión. Este detalle ha llevado a muchos expertos a descartar su uso militar, sugiriendo que era un pabellón de caza o un lugar de retiro. Su verdadera función sigue siendo uno de los mayores enigmas de Italia, alimentando leyendas sobre reuniones secretas de eruditos y rituales de estudio.

Hoy en día, Castel del Monte atrae a miles de visitantes anualmente, fascinados por su belleza geométrica y la serenidad de su ubicación. Aunque el interior se encuentra mayormente vacío de muebles, sus muros hablan de una época de esplendor intelectual y síntesis cultural profunda. El monumento sigue siendo objeto de estudio para arquitectos y matemáticos, quienes encuentran en sus proporciones nuevas claves sobre el ingenio medieval. Su silueta octogonal es un recuerdo perdurable de la ambición humana, una corona de piedra que parece vigilar las colinas de Apulia.