Hugh Elliott se unió al servicio diplomático británico en 1989. Desde agosto de 2019 ocupa el cargo de embajador británico designado en España y Andorra.
Se incorporó al Ministerio de Exteriores británico, el FCO, en 1989. Es un experto en la Unión Europea y en el mundo hispano, y ha ocupado diferentes cargos en Londres y en las embajadas británicas en el exterior. Trabajó por primera vez en la Embajada Británica en Madrid de 1991 a 1996, ocupándose de los asuntos relacionados con la Unión Europea y la economía. Posteriormente, se trasladó a Buenos Aires, donde de 1999 a 2002 se encargó de los asuntos económicos y políticos y seguidamente, de 2002 a 2006, se incorporó a la Embajada de París como responsable de asuntos globales y amenazas estratégicas. De 2006 a 2013 fue director de Relaciones Gubernamentales en Anglo American plc., una compañía minera global diversificada, con la cual trabajó extensamente por toda Latinoamérica, entre otras regiones. En 2013 regresó al FCO para ocupar el cargo de director de Comunicación, encargándose de la comunicación interna y externa del FCO y de la labor diplomática pública. Desde 2017 ejerció de director de Europa, posteriormente de director de Acuerdos Internacionales en el FCO y, hasta 2019, de director de Comunicación y Partes Interesadas en el Ministerio de Salida de la Unión Europea [DExEU].
También ha formado parte, como voluntario, del Patronato de la British Spanish Society y del Patronato de Canning House, el centro dedicado a Latinoamérica e Iberia en el Reino Unido, y del cual también ha sido presidente.