La única bola de cristal que funciona para predecir el futuro es la ciencia. La física tiene el poder de conocer el devenir de un tipo concreto de sistemas, llamados sistemas integrables. Por ejemplo, una peonza o el sistema formado por dos cuerpos masivos que se atraen entre sí (como la Tierra y la Luna). Sabiendo el estado actual de esos sistemas, se puede anticipar cuál será su estado en cualquier otro momento.
Sin embargo, existen otros tipos de sistemas en los que reina el caos y no es posible dar una fórmula que describa su movimiento. Por ejemplo, el sistema formado por tres cuerpos masivos, como los formados por dos estrellas alrededor de las cuales orbita otra más lejana, que abundan en el universo. En estos casos, existe una sensibilidad tal a pequeñas perturbaciones, que estas pueden generar cambios drásticos muchos siglos después: que una de las estrellas sea expulsada o que dos de ellas colisionen. Es imposible predecir su avance.
Ahora bien, existe un motivo por el cual no se puede anticipar el futuro de estos sistemas y sí el de los otros: su descubrimiento —que tardó varios siglos en producirse— no se gestó en la física, sino en la geometría.
En el siglo XVII, el físico y matemático inglés Isaac Newton consolidó la idea de que los procesos de la naturaleza podrían predecirse con antelación, gracias a sus leyes de la mecánica y su teoría de la gravitación universal. El científico y filósofo francés Pierre-Simon Laplace llevó al extremo el entusiasmo afirmando que, conociendo el estado de todos los elementos del universo y con la capacidad de cálculo suficiente, sería posible vaticinar cualquier proceso futuro con una única fórmula.
Con grandes expectativas, los científicos y las científicas se embarcaron en una intensa búsqueda para encontrar fórmulas que permitieran conocer el estado de todo tipo de sistemas en cualquier instante de tiempo. Algunos de los primeros y más famosos ejemplos son tres tipos concretos de peonzas: la de Leonhard Euler, el caso más simple, que es un sólido rígido que gira sin que actúen fuerzas externas sobre él; la de Joseph-Louis Lagrange, algo más difícil de estudiar, que se corresponde con la peonza simétrica con la que habitualmente se juega; y la de Sofía Kovalevskaya, cuya dinámica es la más complicada de tratar ya que tiene una asimetría particular.
Otro de los grandes ejemplos lo resolvió el propio Newton: el problema de los dos cuerpos, que describe el movimiento de dos masas que interactúan entre sí debido a la gravedad. Este sería el caso de la Luna girando alrededor de la Tierra, si no se tiene en cuenta ningún otro planeta ni el Sol. Para este problema se pueden hallar fórmulas precisas de las órbitas seguidas, que dependen de las condiciones iniciales de cada sistema.
El problema de los tres cuerpos
Más allá de estos ejemplos, apenas se hallaron otros; incluso al intentar ampliar mínimamente los casos conocidos, dejaban de funcionar. Por ejemplo, la extensión del modelo de los dos cuerpos al incorporar un tercero ya no se comporta del mismo modo. Sorprendentemente, el tercer cuerpo cambia por completo el problema: sus soluciones se vuelven casi imposibles de calcular. Tal y como se presenta al comienzo de la serie “El problema de los tres cuerpos” de Netflix, se trata de un problema que ha sido estudiado a lo largo de los siglos y para el que solo se ha hallado alguna solución particular.
En 1885, el matemático francés Henri Poincaré se centró en investigarlo, para saber si era posible predecir matemáticamente el futuro de todo el sistema solar. Empleó una geometría mucho más avanzada que la usada por Newton y descubrió algo que hizo cambiar todas las expectativas de predecir el provenir de los sistemas físicos. Demostró formalmente que, aunque se pueden obtener ecuaciones que describen el movimiento de los tres cuerpos, no ofrecen predicciones del futuro. Es decir, por mucho que se intente, en la mayoría de casos es imposible encontrar soluciones explícitas a tales ecuaciones. Lo mismo ocurre para un sistema formado por cuatro, cinco o más cuerpos. Esto no implica que no se puedan hacer aproximaciones numéricas con ayuda de ordenadores (se hacen, y son las que permiten colocar satélites en órbita o enviar astronautas a la Luna). Pero es imposible descartar la posibilidad de que se produzcan cambios significativos en el sistema solar en un futuro lejano, respecto a lo esperado.
Poincaré demostró la naturaleza caótica del problema de los tres cuerpos, pero sin explicar por qué, por el contrario, la de los dos cuerpos era completamente predecible. No fue hasta que se integraron los trabajos del matemático francés Joseph Liouville, en el siglo XIX, y del matemático ruso Vladímir Arnold, en el siglo XX, que el asunto empezó a cobrar sentido. El llamado teorema de Liouville-Arnold cubre todos los problemas de la dinámica que han sido resueltos de manera exacta hasta hoy y muestra que es la geometría intrínseca de la naturaleza la que determina el movimiento de los cuerpos y la que puede decidir si su futuro es predecible o no.
El teorema dice que, para que el sistema sea integrable, es decir, para que podamos calcular sus soluciones explícitamente, éste tiene que tener suficientes magnitudes físicas (como la energía) que permanezcan constantes a lo largo del tiempo. Esta idea física se traduce, geométricamente, en que la información del movimiento del cuerpo a lo largo del tiempo está inmersa en una estructura con forma de donut de la misma dimensión que el sistema. En contraposición, en los sistemas caóticos, dicha información no está confinada y su representación geométrica puede estirarse y plegarse, lo que se corresponde con movimientos impredecibles.
Sin embargo, identificar y caracterizar los sistemas integrables no ha hecho que concluya su estudio. Al contrario, ha impulsado campos como el de la geometría compleja, que usa tan solo polinomios para expresarse y que incluye los números complejos (donde existe la raíz cuadrada de -1).
Este tipo de geometría es especialmente importante para ciertos sistemas integrables, llamados sistemas de Hitchin (propuestos por el matemático inglés Nigel Hitchin, premio Shaw en 2016). Curiosamente, estos son omnipresentes en la física matemática actual, por ejemplo, aparecen como objetos geométricos de la teoría de cuerdas y, a la vez, engullen todos los sistemas integrables clásicos. Es decir, se sabe que contienen algunos de los sistemas integrables conocidos y se espera que contengan más. Su estudio es una rama extremadamente activa de la geometría y la física actual.
—
Marina Logares es profesora de la Universidad Complutense de Madrid y Elisa Ramírez es comunicadora científica beneficiaria dela IV Ayuda CSIC-FBBVA de Comunicación Científica.
Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)
Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.