Hubo un tiempo en que, al hablar de un científico, se evocaba la imagen de un hombre con bata blanca, trabajando en solitario, encerrado en su laboratorio. Aunque ya es bien sabido que esa representación es falsa, algo de ella sigue vigente. El origen de la mecánica se vincula a Galileo Galilei; la química moderna se asocia a Antoine Lavoisier; la teoría evolutiva se considera la gran obra de Charles Darwin; la relatividad, es bien sabido, la de Albert Einstein. Cuando se narra la historia de las ciencias siempre se tiende a encontrar un héroe fundador, actuando en solitario, o un mito fundacional. Son esquemas narrativos que vienen de los antiguos mitos y que se siguen utilizando a día de hoy.
Sin embargo, la ciencia es una empresa colectiva. Muchos son los casos que lo demuestran. ¿Qué sería de Lavoisier sin Joseph Priestley, de Einstein sin Hendrik Antoon Lorentz y Hermann Minkowski, o de Darwin sin Alfred Russel Wallace? Uno de esos casos, que ha causado cierta polémica, es el de la creación de la teoría de conjuntos, la rama de las matemáticas que estudia colecciones de elementos, llamadas conjuntos, y las relaciones y operaciones entre ellas. Habitualmente se atribuye al matemático alemán (nacido en San Petersburgo) Georg Cantor, e incluso se suele enfatizar que, en su caso, toda esta disciplina, fundamental en matemáticas, ha de agradecerse a la actividad creadora de una sola persona. Pero esto no es verdad.
Se puede reconocer la originalidad y el trabajo de Cantor, sin por ello ignorar las grandes contribuciones de otras personas en el desarrollo de la nueva matemática de los conjuntos. Muchos han colaborado en la tarea, pero entre todos destaca la figura de Richard Dedekind. La polémica ha sido a cuenta de un plagio cometido por Cantor en 1874, al publicar bajo su nombre un teorema que le había comunicado Dedekind por carta. Además, el título del famoso artículo de Cantor resaltaba ese teorema como el contenido principal, lo cual hizo toda la situación aún más desagradable.
Dedekind llevaba 15 años desarrollando el lenguaje de conjuntos, antes de conocer a Cantor. Entablaron una relación en 1872 e intercambiaron ideas al respecto; poco después, en 1874, Cantor publicó su artículo, en el que desarrolla el concepto de infinito como entidad matemática y presenta una pluralidad de infinitos, sin reconocer las conversaciones y correspondencia con Dedekind. En el texto incluye la demostración del teorema de Dedekind, que afirma que el conjunto de los números algebraicos (es decir, aquellos que se pueden obtener como solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros, como x² - 2 = 0) es numerable (lo que significa que sus elementos se pueden poner en una lista ordenada, emparejados uno-a-uno con los números naturales; es una lista infinita; por extraño que parezca, hay exactamente tantos números algebraicos como naturales).
También prueba Cantor que el conjunto de todos los números reales (que abarca tanto a los racionales como los irracionales) no es numerable. Esto quiere decir que hay infinitos de distinto tamaño; en concreto, la infinitud de los números reales es más grande que la del conjunto de los algebraicos (o el de los enteros).
Aquel comportamiento de Cantor enturbió su relación con Dedekind, como es normal, y desde entonces hubo una rivalidad entre ambos. En una curiosa carta entre dos miembros de la familia Dedekind, comparan este caso con el de Wallace y Darwin. En noviembre de 1887, el joven estudiante Adolf Dedekind escribe a su “querida tía Julie”, hermana mayor del matemático:
“Quiero empezar hoy directamente con una pequeña historia, que el sr. Dr. Pauly, a cuyo curso público sobre darwinismo asisto, nos ha contado al principio de su lección, y que me interesó enormemente, como sucederá contigo y con el tío Richard, si es que no la conocéis ya (naturalmente, no sé si es así). Poco tiempo antes de la edición de su conocida obra, Darwin recibe un opúsculo enviado por un científico amigo, de nombre Wallace, en el que se presentan a grandes rasgos las mismas teorías (ciertamente en forma muy breve, pero de ningún modo superficial) a cuyo establecimiento y demostración había dedicado (Darwin) toda su vida. Al oír esta historia me acordé inmediatamente del tío Richard y del señor Cantor [sic].”
Claramente, el asunto era bien conocido entre los miembros de la familia, pese a que Dedekind nunca quiso ventilarlo en público. Pensaban que el “tío Richard” tenía ciertos derechos de prioridad sobre la teoría de conjuntos y que la entrada en el tema de Cantor (14 años más joven) era comparable a la aparición de Wallace, cuyo trabajo forzó la publicación de las ideas de Darwin y, en concreto, de El origen de las especies.
Darwin llevaba unos 20 años desarrollando y mejorando sus ideas sobre la evolución por selección natural en el momento en que Wallace le remitió su trabajo: eran ideas a las que había dedicado su vida (igual que Dedekind, quien no era menos cuidadoso y perfeccionista, y llevaba desde 1856 trabajando ideas relacionadas con los conjuntos infinitos). El joven Adolf, como seguramente su tía, no entendía del todo los detalles de la situación: no es que Cantor y Dedekind hubieran dado con la misma teoría, sino que muchos de sus resultados eran complementarios. Pero está claro que Dedekind se anticipó en desarrollar los métodos básicos de los conjuntos y aplicarlos para renovar distintas ramas de las matemáticas. Por ejemplo, los manuscritos demuestran que la novedosa –y famosa– definición del infinito dada por Dedekind estaba ya lista en 1872 (si no antes). En ese año, Cantor apenas estaba empezando a usar conjuntos infinitos para desarrollar sus ideas.
Curiosamente, cuando Adolf escribió su carta, su tío matemático (un solterón que vivía con su hermana Julie) acababa de revisar las pruebas de imprenta de un librito que revolucionó las ideas básicas sobre el rigor en matemáticas: ¿Qué son y para qué sirven los números? En él, asentaba algunos principios básicos de la teoría de conjuntos, que pasarían a figurar entre los axiomas clave de la teoría (propuestos por Ernst Zermelo en 1908). Adolf continuaba escribiendo:
¡Ojalá este asunto tenga un desarrollo tan hermoso como el de Darwin! Pues como Darwin demostró que había tenido la misma visión décadas antes, y solo había demorado tanto la publicación para seguir completando sus teorías, Wallace (quien además había compuesto su trabajo en el archipiélago malayo, mientras Darwin estaba en Inglaterra) declaró abiertamente que nunca podría ni intentaría reclamar para sí el derecho de autoría de dichas teorías. Pues, aunque había llegado independientemente a resultados similares a los de Darwin, debía retirarse totalmente visto el brillante desarrollo, etc., etc. de la obra de Darwin. […]
Así pues, en la familia Dedekind había la esperanza de que Cantor renunciase abiertamente a la prioridad de la teoría de conjuntos. Nada de esto sucedió; más aún, en 1888 Cantor le escribió para reclamar que él ya había establecido una distinción entre conjuntos finitos e infinitos en 1877. Sobre ello, Dedekind comentó, en una carta a su mejor amigo matemático, Heinrich Weber, que “no tenía ninguna gana de una disputa de prioridad” (aunque recordaba también que Cantor se había sorprendido, años atrás, al comunicarle él su definición del infinito).
En cualquier caso, conviene no olvidar que la ciencia es obra humana, de hombres y mujeres con sus peculiaridades, sus personalidades, su inteligencia y su gran dedicación. Esto tiene tanto luces como sombras. En el lado de sombra, las disputas a veces agrias, la ambición de fama y las polémicas de prioridad; peor aún, en ocasiones, se producen plagios o falsificaciones de datos. Pero esto no debe hacernos olvidar el lado bueno: la colaboración, la competición sana, la revisión y perfeccionamiento de resultados y, ante todo, el inmenso trabajo colectivo, sin el cual no existiría un conocimiento certificado y digno de crédito.
Autoría: José Ferreirós es catedrático de Lógica y Filosofía de la Ciencia en la Universidad de Sevilla y miembro del Instituto de Matemáticas IMUS. El próximo 25 de noviembre a las 19:00 imparte la charla “Cómo se gestó la idea moderna del infinito: intercambios entre Cantor y Dedekind”, dentro del ciclo Matemáticas en la Residencia.
Edición: Ágata Timón García-Longoria (CSIC-ICMAT)
Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.