La carrera matemática por desentrañar el movimiento de los fluidos

El estudio de las leyes fundamentales que describen el movimiento de los fluidos, descritas matemáticamente por las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, ha interesado a la comunidad científica desde hace siglos. A través de ellas es posible realizar predicciones meteorológicas fiables o mejorar el diseño de aeronaves. Sin embargo, a pesar de que los ingenieros las emplean con éxito en estas y muchas otras aplicaciones prácticas, estas ecuaciones aún encierran profundos misterios matemáticos, entre ellos la posible existencia de singularidades, uno de los grandes retos de la física matemática. 

Hace 25 años, la Fundación Clay seleccionó este como uno de los siete problemas más importantes de la matemática actual y ofreció un millón de dólares a quien lo resolviera. Hoy, la respuesta parece estar cerca.

Cinco grupos de matemáticos lideran esta pugna en el mundo, entre ellos, uno español. Para abordar el problema, emplean técnicas muy novedosas, desarrolladas específicamente para esta tarea. “Estamos en un momento clave”, afirman Diego Córdoba, investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), y Luis Martínez Zoroa, investigador en CUNEF Universidad, miembros del grupo hispano. 

En el siglo XVIII, Leonhard Euler formuló las ecuaciones que describen el movimiento de fluidos ideales, aquellos sin fricción interna. Más tarde, en el siglo XIX, Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes, de forma independiente, extendieron este modelo para incluir la viscosidad, es decir, las fuerzas de rozamiento entre las partículas del fluido, dando lugar a las ecuaciones de Navier–Stokes.

Estas ecuaciones se basan en la conservación de la masa y en la segunda ley de Newton, que relaciona la aceleración del fluido con las fuerzas que actúan sobre él, como los gradientes de presión, la fricción interna y fuerzas externas como la gravedad, junto con la condición de incompresibilidad (es decir, que el fluido no se puede comprimir ni expandir). A partir de un estado inicial del flujo, permiten determinar su evolución en el tiempo, aunque su resolución exacta resulta extremadamente compleja.

Por ello, los matemáticos no buscan obtener soluciones explícitas, sino que se aspiran a responder preguntas más fundamentales: si las soluciones existen o no, si son únicas y si se comportan de manera regular, es decir, si son suaves y están bien definidas en todo instante. O si, por el contrario, un fluido en reposo, o con un movimiento suave, puede, con el paso del tiempo, albergar una singularidad, es decir, un punto en el que la solución deja de ser regular (su velocidad se vuelve infinita o gira de forma descontrolada). Esto evidenciaría un error en las ecuaciones: predecirían comportamientos que no se dan en el mundo real. Entender si estas singularidades pueden aparecer o no es el Problema del Milenio.

Está demostrado que, en un fluido incompresible en dos dimensiones, es decir, en un plano, no se producen singularidades. En tres dimensiones se han sucedido avances parciales en los últimos años. En 2014, Guo Luo (Universidad Hang Seng de Hong Kong) y Thomas Hou (Instituto Tecnológico de California, EEUU) produjeron una simulación de un fluido dentro de un cilindro, que, bajo ciertas condiciones de partida, parecía dar lugar a una singularidad. Diez años más tarde, consiguieron probar que, efectivamente, lo hacía, con la colaboración de Jiajie Chen (Universidad de Nueva York, EEUU). 

En estos entornos computacionales no es posible representar directamente la formación de una singularidad, ya que en ella ciertas magnitudes, como la velocidad, crecen sin límite. Antes de que se alcance ese comportamiento infinito, la simulación se detiene debido a las limitaciones de memoria del ordenador. Frente a ello, las soluciones autosimilares permiten superar esta dificultad. 

En este tipo de soluciones, la evolución del fluido conserva su forma esencial cuando se reescala adecuadamente el tiempo y el espacio, de modo que toda la dinámica puede describirse mediante un perfil que no cambia. Gracias a esta invariancia de escala, el problema original, definido en un dominio que se contrae o se expande sin límite, puede reformularse como un problema equivalente en un dominio fijo y finito.

Esta reformulación elimina la necesidad de seguir la dinámica hasta el instante singular y permite concentrar el cálculo en el perfil autosimilar, que sí puede representarse con resolución finita. De este modo, el ordenador puede analizar si dicho perfil existe y si describe realmente el mecanismo por el cual el sistema podría desarrollar una singularidad. “El grupo de Hou y Chen explora la posibilidad de una singularidad autosimilar, empleando simulaciones numéricas de alta precisión, que luego se utilizan para construir una prueba rigurosa con asistencia computacional”, explican Córdoba y Martínez. 

“Por otro lado, el grupo de Tristan Buckmaster (Universidad de Nueva York, EEUU) y Javier Gómez-Serrano (Universidad de Brown, EEUU) ha adoptado una estrategia similar, pero con un enfoque más moderno: usan redes neuronales para identificar configuraciones iniciales que conduzcan a la formación de singularidades”, añaden.

En 2021, Tarek Elgindi (Universidad de Duke, EEUU) demostró la existencia de singularidades autosimilares en las ecuaciones de Euler, sin hacer uso de ordenador. Fue “una hazaña histórica”, según Córdoba y Martínez. 

Por su parte, el equipo liderado por Córdoba, en el ICMAT, ha ideado otro mecanismo que también produce singularidades: el mecanismo de cascada. “Consiste en generar una cascada de capas de vorticidad localizadas que se acumulan en el punto donde se desarrolla la singularidad”, detallan. Su método ha permitido construir singularidades en diversos escenarios y resulta prometedor en las ecuaciones de Euler en tres dimensiones.

Además de ellos, el medallista Fields Terence Tao (Universidad de California en Los Ángeles, EEUU) “ha propuesto un enfoque diferente, buscando singularidades en el marco de variedades compactas riemannianas”, relatan. De momento no ha conseguido ningún avance significativo.

No se sabe cuál de estos abordajes conseguirá desentrañar el movimiento de los fluidos. Mientras tanto, la comunidad matemática asiste a un momento excepcional: una combinación de ideas clásicas y nuevas tecnologías que aceleran una carrera trepidante. 

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Autoría: Ágata Timón García Longoria, coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

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