Los avances reconocidos con el 'Nobel de las matemáticas', explicados por quienes lo acaban de ganar

El pasado 23 de julio, en la ceremonia inaugural del Congreso Internacional de Matemáticos en Filadelfia (Estados Unidos), se anunciaron los nombres de los nuevos receptores del mayor reconocimiento dentro de las matemáticas: las Medallas Fields.

Los reconocimientos recayeron en Yu Deng (Universidad de Chicago, Estados Unidos), John Pardon (Universidad de Stony Brook, Estados Unidos), Jacob Tsimerman (Universidad de Toronto, Canadá) y Hong Wang (Universidad de Nueva York, Estados Unidos, e Institut des Hautes Études Scientifiques, Francia). Los cuatro desarrollan hoy su carrera en Norteamérica (Wang también en Francia), aunque tres de ellos nacieron fuera: dos en China, Deng y Wang, y uno en Rusia, Tsimerman.

Las Medallas Fields se conceden cada cuatro años desde 1936 (solo se interrumpió el premio durante la Segunda Guerra Mundial) a matemáticos y matemáticas menores de 40 años. Se entregan a un máximo de cuatro personas, coincidiendo con cada Congreso Internacional de Matemáticos, el mayor evento de esta ciencia. Con Wang, Deng, Tsimerman y Pardon ya son cerca de 70 matemáticos premiados desde su creación, solo tres de los cuales son mujeres. Antes de Wang, lo obtuvieron la iraní Maryam Mirzakhani y la ucraniana Maryna Viazovska.

A estos galardones se les conoce popularmente como el 'Nobel de las matemáticas', aunque a diferencia de este, la Fields nació con la vocación de reconocer también el talento de quienes, por su juventud, tienen aún mucho camino por delante. ¿En qué consisten los avances premiados en esta edición? Recogemos las palabras de sus ganadores en la rueda de prensa posterior a la ceremonia.

Yu Deng: de lo diminuto a lo global

El trabajo de Yu Deng “permite conectar la descripción microscópica del universo con la descripción macroscópica. Por ejemplo, de un fluido o un gas”, según sus propias palabras. “Si se mira de forma global, se trata de un objeto continuo [es decir, algo que puede describirse en cada punto del espacio, sin distinguir partículas individuales] cuya evolución se puede describir con las ecuaciones de Euler.

Pero, si se mira mucho más de cerca, el fluido está compuesto por partículas diminutas que siguen una ley distinta, la llamada ley de Newton. La pregunta es: ¿cómo derivar el comportamiento macroscópico a partir de esas interacciones microscópicas?“, explicaba el matemático chino en la rueda de prensa.

Es decir, ¿cómo el comportamiento de billones de partículas microscópicas termina produciendo, a gran escala, algo aparentemente tan ordenado como el movimiento del agua siguiendo los cauces de un rio? Se trata de una pregunta que lleva más de un siglo fascinando a físicos y matemáticos.

Un paso intermedio entre ambas escalas, que describe cómo evoluciona la probabilidad de que las partículas ocupen una posición y velocidad dadas, viene dado por la llamada ecuación de Boltzmann (1872). Deducirla de forma rigurosa a partir de las leyes de Newton, no solo a corto plazo, sino también para tiempos más largos, es un problema que ya figuraba en la lista de los problemas más importantes de las matemáticas que propuso el alemán David Hilbert en 1900.

Y sobre ello trata el logro de Deng: “El trabajo que he desarrollado con mis colaboradores deriva la ecuación de Boltzmann para tiempos arbitrariamente largos, completando así, bajo ciertas hipótesis, el puente entre ambas escalas”, apuntaba.

Aunque aseguraba que “todavía quedan muchas preguntas abiertas en el tipo de problemas en los que trabajo, sobre ecuaciones en derivadas parciales, estocásticas y afines”, confía en que sus métodos sirvan, al menos, para abordar alguna de ellas.

Jacob Tsimerman, geometría escondida en los números

La investigación de Jacob Tsimerman se engloba en la teoría de números. “En este campo, uno intenta predecir, en términos probabilísticos, qué propiedades cabría esperar en los números [es decir, qué resultados serían estadísticamente esperables, si no hubiera ninguna estructura oculta]; y cuando ocurre algo inesperado, se busca una explicación geométrica”, introducía Tsimerman.

El matemático trabaja en la conjetura de André-Oort, una predicción planteada en los años ochenta y noventa del siglo pasado por Yves André y Frans Oort. Tsimerman la demostró en 2021 junto con sus colaboradores, combinando la teoría de números con una herramienta inesperada: la o-minimalidad, proveniente de la lógica matemática.

“La conjetura trata de las variedades, unos objetos geométricos que pueden estudiarse mediante herramientas de la geometría algebraica, la geometría diferencial, la teoría de números o la teoría de representaciones. Viene a decir que si algo ”especial“ (con muchas simetrías) satisface una relación algebraica una y otra vez, tiene que haber una razón geométrica detrás. Es raro y muy satisfactorio ver tantas disciplinas encontrarse en un problema concreto como este”, explicaba el matemático de origen ruso.

Su técnica (la o-minimalidad) ha abierto una vía inesperada hacia otros problemas de la geometría algebraica. Entre ellos, ¿podría aplicarse para resolver la conjetura de Hodge, uno de los siete problemas del milenio del Clay Mathematics Institute? Tsimerman se mantuvo cauto ante esta pregunta: “Es un problema difícil. Quizá puede ayudar la o-minimalidad a resolverlo, pero ahora mismo la o-minimalidad no es la herramienta obvia para eso. No veo un camino claro, pero tampoco veo por qué no podría acabar siéndolo”.

Hong Wang, por el giro de una aguja

Hong Wang trabaja en la llamada conjetura de Kakeya. “Esta plantea lo siguiente: si un conjunto contiene un segmento unidad en cada dirección posible, ¿cómo de pequeño puede llegar a ser?”, explicaba Wang en el ICM.

Imaginemos una aguja infinitamente fina que debe girar hasta apuntar, en algún momento, hacia todas las direcciones posibles del espacio. La conjetura, propuesta por el matemático japonés Sōichi Kakeya en 1917, plantea cuál es el volumen mínimo que necesita la región por la que se mueve para lograrlo.

“La conjetura dice que debe tener, como mínimo, cierta dimensión. Junto con Joshua Zahl demostramos el caso en tres dimensiones, apoyándonos en trabajo previo de [Larry] Guth”, afirmaba la matemática china.

El resultado va mucho más allá del planteamiento inicial: los llamados “conjuntos de Kakeya”, los que contienen la aguja en todas las direcciones, están profundamente conectados con el análisis armónico, la teoría de números y las ecuaciones en derivadas parciales, campos a los que también repercute el avance de Wang y Zahl.

La conjetura de Kakeya, de momento, sigue abierta a partir de la dimensión cuatro. “Creo que algunas de las herramientas y el marco que desarrollamos para el caso tridimensional podrían ayudar a entender también las dimensiones superiores, aunque estas presentan una obstrucción adicional. Es difícil predecir cuánto costará extender el resultado a niveles más altos”, indicaba Wang.

John Pardon, la geometría en silencio

A diferencia de sus tres colegas, Pardon no acudió a la rueda de prensa (es conocido dentro de la comunidad matemática por su discreción), así que su trabajo llega aquí sin cita propia. Según el fallo del jurado del premio, se le reconoce por sus contribuciones a la geometría simpléctica, una rama a medio camino entre la geometría y la topología. Estudia el llamado “espacio de fases”, el conjunto de todos los estados posibles de un sistema físico, como las posiciones y velocidades de las partículas de un gas. Entre sus logros más celebrados está la demostración, en 2023, de una conjetura sobre cómo contar curvas en las llamadas variedades de Calabi-Yau, unas formas geométricas con aplicaciones en teoría de cuerdas. La conjetura sostiene que dos maneras completamente distintas de contar esas curvas son, en realidad, dos formas de leer una misma información oculta. La demostración de Pardon introdujo una herramienta tan novedosa (hoy conocida en el campo como “álgebra de Pardon”) que cambió la manera en que los especialistas piensan toda la disciplina.

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Autoría: Ágata Timón es divulgadora de las matemáticas del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas, donde coordina de la Unidad de Cultura Matemática

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.