¿Por qué no todos vemos las estrellas con el mismo número de puntas? La respuesta está en los polinomios dentro de tus ojos

Estos días de verano, en cualquier noche despejada, además de buscar las estelas de las Perseidas, fíjate bien en las estrellas más brillantes: quizás, las que tú ves tienen seis puntas, mientras la persona que tienes al lado las ve con ocho. Ahora bien, si los astros poseen forma de elipsoide, ¿por qué los percibimos de esta manera? Y ¿a qué se debe la diferencia en el número de puntas?

Las matemáticas nos ayudan a abordar estas cuestiones.

La óptica geométrica, una rama de la física matemática que estudia el comportamiento de la luz mediante el concepto de rayos luminosos, permite explicar el proceso por el que se forman las imágenes en el ojo humano. La luz procedente de una estrella lejana se describe con una familia de rayos que emanan del punto en el que se sitúa la estrella y que son, todos ellos, perpendiculares a una superficie llamada frente de onda. Estos rayos, al refractarse dentro del ojo, llegan a la retina, concentrados en unas zonas que se denominan cáusticas. Así, el ojo forma las cáusticas con estructura de estrella de puntas a partir de ese astro lejano.

El número de puntas de la cáustica está íntimamente ligado a su orden de simetría. Esta simetría es de tipo rotacional: una figura tiene simetría rotacional de orden n si, al girarla 360/n grados alrededor de su centro, queda exactamente igual. Una estrella de tres puntas, por ejemplo, tiene orden tres: al rotarla 120° (es decir, 360/3) no cambia su forma.

Ahora bien, para identificar las simetrías de la cáustica que ve una persona es necesario tener en cuenta las imperfecciones de su ojo, que se denominan aberraciones. Estas determinan el grado de emborronamiento de las imágenes que se forman en la retina. Matemáticamente, las aberraciones se describen mediante una expresión que muestra cómo difiere el frente de onda que llega a la retina del que produciría un sistema óptico perfecto, que es la esfera.

Esta expresión se aproxima como una suma de los denominados polinomios de Zernike, propuestos en la década de 1930 por el físico Frits Zernike, ganador del Premio Nobel de Física en 1953. El ojo de cada persona tiene asociada una combinación precisa de estos polinomios, una suerte de huella óptica que determina la forma particular de su cáustica.

Recientemente se ha demostrado que ciertas combinaciones de polinomios de Zernike se asocian a determinadas estructuras cáusticas en forma de estrella. En particular, se han identificado las combinaciones de polinomios de Zernike que se vinculan con la simetría rotacional de orden n del frente de onda. Con ello, sabemos que, por ejemplo, los ojos que tienen aberraciones descritas por polinomios vinculados a la simetría rotacional de orden tres, más algunas condiciones adicionales, verán estrellas de tres puntas, mientras que los vinculados a simetría rotacional de orden cuatro, verán estrellas de cuatro o de ocho puntas.

Si los ojos de una persona no tienen asociados este tipo de polinomios, no podrá ver las estructuras cáusticas en forma de estrella. Sin embargo, incluso habiéndolos, podrían no percibirlas de esta manera, ya que es necesario que se presenten otros factores, como la ausencia de contaminación lumínica. Por otro lado, si una persona tiene mucha miopía o hipermetropía y no lleva gafas o lentes de contacto, sus polinomios de Zernike dominantes tienen una simetría rotacional completa, y no verá estrellas sino puntos emborronados.

Este nuevo estudio matemático ofrece, además, un esquema conceptual para investigar el origen fisiológico de este fenómeno óptico. Si fuese posible relacionar matemáticamente la morfología del ojo con las estructuras cáusticas en forma de estrella, estas podrían ofrecer información muy relevante del interior de nuestros ojos. Y el método de diagnóstico no podría ser más sencillo: bastaría con mirar al cielo una noche de verano despejada como las de este verano.

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Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.