Los extraños números que podrían modelar el espacio-tiempo a escalas diminutas

Entre dos fracciones, por muy cercanas que estén, siempre existen números que no pueden escribirse como fracción. Kurt Hensel inventó una manera de solucionarlo hace más de cien años
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Álvaro Pelayo

25 de abril de 2026 22:30 h

Actualizado el 26/04/2026 05:30 h

¿Qué significa que dos números estén cerca? Habitualmente, basta con mirar la distancia entre ellos en la recta numérica. Sin embargo, en matemáticas existe toda una familia de números para los que esta intuición deja de funcionar. En ellos, la cercanía no depende de cuánto difieren dos cantidades, sino de cómo lo hacen. Son los números p-ádicos, una genial invención matemática con profundas conexiones con la física y la geometría.

La idea la tuvo el alemán Kurt Hensel hace poco más de cien años. Hensel creó estos números para visualizar los números enteros de forma peculiar: como sumas infinitas de potencias de un número primo p (que solo es divisible por 1 y él mismo). Para que esas sumas se aproximaran a números, tuvo que inventarse una nueva noción de distancia, donde los conceptos de cerca y lejos no tienen nada que ver con los que usamos habitualmente.

Su aparición es, por tanto, menos intuitiva que otras clases de números, que surgen en cuestiones cotidianas. Por ejemplo, los números racionales, o fracciones de enteros, son valores que aparecen al hacer repartos. Al dividir una tarta entre ocho personas, a cada una le corresponde 1/8. Cualquier medición científica o proceso informático emplea solo este tipo de cantidades, sin embargo, sabemos que en la naturaleza existen otras cantidades: los números irracionales. Por ejemplo, para calcular el área de un terreno circular se hace uso de π (la superficie es π multiplicado por el radio al cuadrado). Esta constante (3,1415…) tiene infinitos dígitos decimales y no se puede expresar como fracción de dos enteros. Nadie conoce todas sus cifras. O, por otro lado, la longitud del lado más largo de un terreno triangular, con dos paredes de longitud 100 en ángulo recto, es la raíz cuadrada de 20.000 (siguiendo el teorema de Pitágoras), que tampoco es expresable como fracción.

Más allá de estos ejemplos, los números irracionales están por todas partes. Así, entre dos fracciones, por muy cercanas que estén, siempre existen números entre ellas que no pueden escribirse como fracción. Es decir, si imaginamos un segmento horizontal de longitud uno (en un extremo situamos 0 y en el otro 1) y colocamos sobre él todas las fracciones (1/2, 1/3, 1/4, 5/6, 7/9, 25/27 y, en realidad, infinitas más), estas quedan distribuidas por todo el segmento, pero no lo llenan completamente: hay puntos que no corresponden a ninguna fracción, es decir, números irracionales. Esos puntos que faltan, o huecos, pueden definirse matemáticamente como valores a los que se aproximan sucesiones de fracciones cuyos términos se van acercando cada vez más entre sí. La cercanía entre números se mide con la distancia habitual (por ejemplo, la distancia entre −3 y 5 es 8).

Si se juntan las fracciones y los números irracionales se completa el segmento, obteniéndose un continuo, sin saltos entre elementos. Lo mismo pasa si se considera una línea horizontal infinita. Así se obtienen los números reales, representados por dicha línea, que son los que tradicionalmente se emplean para formular las leyes de la naturaleza, que, durante mucho tiempo, se ha creído que cumple esta premisa de continuidad a todas las escalas.

Estructura fractal que representa, de manera figurada, los números 17-ádicos. Luis Crespo Ruiz.

Pero hay formas más exóticas de rellenar los huecos entre fracciones, en las que no se obtiene un continuo visual sino fractal. Este continuo lo forman precisamente los números que inventó Hensel: los p-ádicos, donde p es un número primo. Para construirlos, se hace lo mismo que con los irracionales: se ven como los valores a los que se acercan sucesiones de fracciones cuyos términos están cada vez más próximos entre sí. Sin embargo, aquí se emplea una noción de cercanía o proximidad más extravagante: dos fracciones están p-ádicamente cerca si en el numerador de su diferencia aparece una potencia alta de p, y están p-ádicamente lejos si en el denominador de su diferencia aparece una potencia alta de p. Por ejemplo, 2/5 y 1/16 están cerca 3-ádicamente porque en el numerador de su diferencia, 27/80, aparece un 3 elevado a 3. Sin embargo, como el 80 del denominador es 5 por 2 elevado a 4, esas dos mismas fracciones están lejos 2-ádicamente.

Al rellenar así los huecos entre 0 y 1 no se obtiene un segmento, sino una estructura arbóreo-fractal. Desde hace décadas, físicos y matemáticos están fascinados por ella. De hecho, hay una corriente en teoría de cuerdas, cosmología y mecánica cuántica, que cuenta entre sus filas con importantes científicos, en base a la cual a escalas de 10 a la menos 35, el espacio-tiempo podría modelarse mejor con números p-ádicos que con reales, o, como mínimo, la versión p-ádica arrojaría nueva luz sobre el mundo a esa escala minúscula. La idea que subyace es que, hasta la llegada de la física cuántica, se pensaba que la materia era un continuo, que quedaba bien descrita por los números reales. Sin embargo, en el mundo cuántico, la realidad está formada por partículas diferenciadas, lo que no encaja del todo en la intuición clásica de continuidad. En ese contexto, los números p-ádicos ofrecen una geometría alternativa, que abre la puerta a describir estructuras microscópicas del espacio-tiempo de una manera más acorde con la naturaleza granular que sugiere la física cuántica.

También dentro de las matemáticas los números p-ádicos son relevantes. Juegan un papel fundamental en teorías matemáticas profundas como el programa de Langlands. El alemán Peter Scholze recibió recientemente la Medalla Fields, considerado el Nobel de las matemáticas, en parte, por su trabajo con números p-ádicos.

Más recientemente estos números han reaparecido en física y geometría simpléctica, arrojando nueva información sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg y otros fenómenos.

El hecho de que las mediciones experimentales se hagan empleando exclusivamente fracciones deja la puerta abierta a la pregunta de si hay aspectos de la naturaleza sobre los cuales los números p-ádicos u otros sistemas numéricos pueden ayudarnos a descifrar. Si fuese el caso, habrá consecuencias en muchas áreas, incluyendo computación cuántica. El tiempo y los experimentos dirán si contar con estos extraños números es solo una fascinante teoría matemática o una potente herramienta para entender la naturaleza.

Álvaro Pelayo, académico de la Real Academia de Ciencias de España y catedrático de Matemáticas en la Universidad Complutense de Madrid.

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.