El hermano mayor del teorema de Pitágoras que cambió nuestra forma de entender el mundo

En matemáticas, una vez que se sabe que algo es cierto, es habitual intentar ir más allá y preguntarse si sigue siéndolo en otras situaciones. El teorema de Pitágoras, que se enseña en colegios de todo el mundo, es una verdad matemática, fundamental para el desarrollo de la geometría, la arquitectura, la ingeniería y la ciencia en general, ya era conocida en la antigüedad. 

El teorema presenta la relación entre los lados x, y y z de un triángulo rectángulo: x^2 + y^2 = z^2. Pero, ¿es posible encontrar números enteros x, y y z que cumplan x^3 + y^3 = z^3? De forma general, ¿existen números enteros que verifiquen esta igualdad para exponentes mayores que dos? Así aparece el hermano mayor del teorema de Pitágoras: el último teorema de Fermat. 

Pierre de Fermat, matemático francés del siglo XVII, fue el primero en hacerse esta pregunta, mientras estudiaba la obra de clásicos griegos como Diofantes. Él mismo conjeturó que no es posible hallar números que cumplan la igualdad. Y, según cuenta la historia, fue capaz de demostrarlo, aunque con la mala suerte de no tener suficiente papel para escribirlo. 

La pregunta quedó, por tanto, sin respuesta. Después de Fermat, incontables matemáticos intentaron encontrar una alternativa a aquella milagrosa demostración perdida. Leonhard Euler, por ejemplo, comprobó que es imposible cuando los números están elevados a tres. Otros, como Gabriel Lamé, creyeron haber dado con la respuesta. 

Aunque el problema trata de números enteros, algunos matemáticos consideraron que podía ser interesante ampliar el tipo de números con los que se trabaja para poder factorizar mejor la ecuación. Siguiendo estas ideas, Lamé pensó que, al igual que los números enteros pueden expresarse de una única manera como producto de primos, también ocurría para otras estructuras, que incluyen los llamados números complejos (dentro de los que existe la raíz cuadrada de -1). Si esa propiedad —la factorización única— también fuera válida en esos nuevos sistemas de números, el problema podría descomponerse en factores más simples y el último teorema de Fermat quedaría demostrado.

Durante un breve momento, en 1847, pareció que el misterio por fin se había resuelto. Pero la alegría duró poco. Joseph Liouville señaló una dificultad seria: en esos sistemas de números la factorización única no siempre se cumple. Poco después, Ernst Eduard Kummer mostró con ejemplos concretos que, efectivamente, existen números que pueden descomponerse de más de una manera distinta. El razonamiento de Lamé, por tanto, no era válido.

Sin embargo, el error resultó extraordinariamente fértil. Para entender y reparar ese fallo, Kummer desarrolló nuevas herramientas, como los llamados números ideales, que dieron origen a toda una nueva área de las matemáticas: la teoría algebraica de números. El desarrollo moderno de la teoría algebraica de números fue el que permitió finalmente, más de un siglo después, dar respuesta a la pregunta de Fermat. Andrew Wiles, con objetos como curvas elípticas y representaciones de Galois, pudo demostrar formalmente que, efectivamente, la igualdad x^n + y^n = z^n no se cumple para ninguna terna de números enteros x, y y z, cuando n es mayor que dos. 

Más allá de premios y condecoraciones –Wiles fue incluso nombrado caballero en Reino Unido–, con su trabajo, Wiles introdujo un sinfín de novedades. En su búsqueda de una solución, desarrolló nuevas ramas de estudio y ofreció puntos de vista diferentes con los que abordar otros problemas. Parte de su teoría ha visto aplicaciones imprescindibles en áreas como la criptografía, proporcionando algoritmos que garantizan la seguridad de mensajes enviados a través de internet.

En efecto, las llamadas curvas elípticas son la base de muchos sistemas de cifrado modernos, desde transacciones bancarias hasta comunicaciones seguras en la web. Así, la solución al último teorema de Fermat no solo cerró un capítulo de la historia de las matemáticas, sino que transformó herramientas teóricas en aplicaciones prácticas que hacen posible la seguridad digital en nuestra vida cotidiana.

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Iván López Navarro es estudiante de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y uno de los cuatro participantes de la primera edición del Mathematics Intensive Program del ICMAT, un programa de alto rendimiento en matemáticas para universitarios, que acaba de lanzar su segunda convocatoria (abierta hasta el 15 de abril) 

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT 

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.