Gerd Faltings recibe el premio Abel de matemáticas por conectar formas y números

Gerd Faltings, uno de los matemáticos más influyentes de los últimos 50 años, es el ganador del premio Abel 2026, uno de los dos galardones más importantes en las matemáticas, otorgado por la Academia Noruega de Ciencias y Letras. El otro premio de mayor relevancia, la Medalla Fields, lo obtuvo en 1986, tras demostrar tres importantes conjeturas: la conjetura de Tate para variedades abelianas, la conjetura de Shafarevich y la conjetura de Mordell, siendo esta última la que le dio fama internacional. 

Según su perfil investigador de miembro de la Academia Europaea, Gerd Faltings investiga “en aquello que le parece interesante”. Sin embargo, el grueso de su investigación pertenece al campo de la geometría aritmética. Este término puede parecer una contradicción en sí mismo: mientras la geometría estudia fenómenos continuos, sin saltos ni cortes, la aritmética se centra en objetos discretos, es decir, en cantidades separadas y contables. La geometría trata de las formas de objetos matemáticos. Por ejemplo, para explorar una ecuación polinomial (es decir, una combinación de sumas, restas y multiplicaciones de variables elevadas a exponentes enteros), la geometría permite analizar la forma que tienen las soluciones. La aritmética, por el contrario, estudia principalmente los números enteros o los números racionales. Para estudiar una ecuación, la aritmética se pregunta si tiene soluciones con coordenadas enteras o racionales y cuantas hay. 

El término “geometría aritmética” se puede entender de dos formas distintas. La primera, quizás la más superficial, afirma que la geometría, la forma, determina las propiedades aritméticas. La segunda, más profunda, plantea que existe una analogía entre la geometría y la aritmética que permite transferir la intuición de una ciencia a la otra y que, usando el lenguaje apropiado, ambas se pueden unir. 

La conjetura de Mordell, que permaneció abierta durante 60 años hasta que Faltings la demostró, es un ejemplo perfecto de ambos puntos de vista. La conjetura de Mordell afirma que, efectivamente la forma, la geometría, determina la aritmética. En concreto, que, si una ecuación tiene cierta propiedad geométrica, entonces el conjunto de sus soluciones racionales es siempre finito. Se trata de ecuaciones cuyas soluciones definen una curva, un objeto matemático de dimensión uno. Por ejemplo, las soluciones de un polinomio en dos variables forman una curva. Y, si se consideran las soluciones que tiene como coordenadas números complejos, obtenemos lo que llamamos una curva compleja. Una propiedad geométrica interesante de esa curva compleja es el llamado género, que en este caso se corresponde con el número de agujeros. Si la curva tiene género cero, su forma es la de una esfera (con cero agujeros). Si tiene género uno, su forma es la superficie de una rosquilla (con un agujero).

Pues bien, esta característica geométrica está muy relacionada con las soluciones racionales. Si el género es cero, puede no haber ninguna solución con coordenadas racionales, pero si hay una solución, entonces hay infinitas. Si el género es uno, el número de soluciones con coordenadas racionales puede ser finito o infinito. Pero si el género es mayor que uno, tal y como probó Faltings, nunca puede haber infinitas soluciones racionales.

La analogía entre geometría y aritmética, el segundo punto de vista que mencionamos antes, predice que la conjetura de Mordell tiene un alter ego puramente geométrico, donde la curva se transforma en una familia de curvas que dependen de un parámetro y los puntos racionales se convierten en secciones de esta familia. Yuri Manin (en 1963) y Hans Grauert (en 1965) habían demostrado ya la versión geométrica de la conjetura de Mordell usando herramientas propias de la geometría. La intuición que proporciona el gemelo geométrico guio a Gerd Faltings para encontrar una demostración de la conjetura de Mordell original que sorprendió a los expertos de la época y que abrió numerosas vías de investigación.

Tras resolver la conjetura de Mordell, Gerd Faltings resolvió otras conjeturas importantes como la conjetura de Mordell–Lang. Su trabajo ha transformado muchos campos de la matemática moderna: la resolución de ecuaciones diofánticas, la teoría de Arakelov, la teoría de variedades abelianas, los espacios de moduli de fibrados vectoriales y la teoría de Hodge p-ádica. En palabras de la Academia de Ciencias Noruega, quien otorga el premio Abel, Gerd Faltings recibe el galardón “por introducir potentes herramientas en geometría aritmética y por resolver las conjeturas, largo tiempo abiertas, de Mordell y Lang”.

José Ignacio Burgos es investigador científico del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Dimensión fractal es un espacio del Instituto de Ciencias Matemáticas (CSIC-UAM-UC3M-UCM) en el que se ofrece una mirada matemática de la actualidad de la mano de personal investigador especializado.

Edición y coordinación: Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Científica del ICMAT